Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2023–2024 — Cụm THPT Lục Nam, Bắc GiangMã đề 101

Thời gian: 120 phút
Số câu: 43 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 40 câu · 14,0 điểm

Phần B. Tự luận — 3 câu · 6,0 điểm

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn14,0 điểm

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 2, AC = 3, \widehat{BAC}=60^{0}$ . Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$ .

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle -7$
C
$\displaystyle -1$
D
$\displaystyle 1$

Câu 2

Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y > 0 \\ 2x + 5y < 0 \end{cases}$ có tập nghiệm là $S$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A
$\displaystyle (-1; -1) \in S$
B
$\displaystyle \left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{2}{5}\right) \in S$
C
$\displaystyle (1; 1) \in S$
D
$\displaystyle \left(1; -\dfrac{1}{2}\right) \in S$

Câu 3

Tính tổng các nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} - x - 4} = \sqrt{x - 1}$ .

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle -3$

Câu 4

Phương trình đường tròn $(C)$ có tâm $I(-2; 0)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d: 2x + y - 1 = 0$ .

A
$\displaystyle (x - 2)^{2} + y^{2} = 5$
B
$\displaystyle x^{2} + (y - 2)^{2} = 5$
C
$\displaystyle (x + 2)^{2} + y^{2} = 5$
D
$\displaystyle x^{2} + (y + 2)^{2} = 5$

Câu 5

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4, BC = 6, CA = 8$ . Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ .

A
$\displaystyle r = \dfrac{256\sqrt{15}}{15}$
B
$\displaystyle r = \dfrac{\sqrt{15}}{3}$
C
$\displaystyle r = \dfrac{\sqrt{15}}{6}$
D
$\displaystyle r = \dfrac{16\sqrt{15}}{15}$

Câu 6

Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề $M: "\forall x \in \mathbb{R}, 3x^{2} - 1 \neq 0"$ .

A
$\displaystyle \overline{M}: "\forall x \in \mathbb{R}, 3x^{2} - 1 = 0"$
B
$\displaystyle \overline{M}: "\forall x \in \mathbb{R}, 3x^{2} - 1 \geq -1"$
C
$\displaystyle \overline{M}: "\exists x \in \mathbb{R}, 3x^{2} - 1 = 0"$
D
$\displaystyle \overline{M}: "\exists x \in \mathbb{R}, 3x^{2} - 1 \neq 0"$

Câu 7

Tìm $m$ để 2 đường thẳng sau đây vuông góc: $\Delta_{1}: 2x - 3y + 4 = 0$ và $\Delta_{2}: \begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = 1 - 4mt \end{cases}$ .

A
$\displaystyle m = -\dfrac{9}{8}$
B
$\displaystyle m = \dfrac{9}{8}$
C
$\displaystyle m = -\dfrac{1}{2}$
D
$\displaystyle m = \dfrac{1}{2}$

Câu 8

Cho góc $\alpha$ $(0^{0} < \alpha < 180^{0})$ thỏa mãn $\cot \alpha = 5$ . Giá trị của biểu thức $P = \dfrac{2\sin \alpha - \cos \alpha}{3\sin \alpha + \cos \alpha}$ là:

A
$\displaystyle P = \dfrac{3}{8}$
B
$\displaystyle P = \dfrac{9}{16}$
C
$\displaystyle P = -\dfrac{9}{16}$
D
$\displaystyle P = -\dfrac{3}{8}$

Câu 9

Cho tam giác $ABC$ có các góc thỏa mãn $\sin C = 2.\sin B.\cos A$ . Nhận xét nào về tam giác $ABC$ là đúng?

A
$\Delta ABC$ đều
B
$\Delta ABC$ vuông tại A
C
$\Delta ABC$ vuông tại C
D
$\Delta ABC$ cân tại C

Câu 10

Tính tổng các nghiệm của phương trình: $(x + 5)(2 - x) = 3\sqrt{x^{2} + 3x}$ .

A
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$
B
$\displaystyle -3$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle -\dfrac{3}{2}$

Câu 11

Bảng xét dấu sau là bảng xét dấu của biểu thức nào trong các biểu thức dưới đây?

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & 1 & & +\infty \\ \hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}

A
$\displaystyle f(x)=x^{2}-x-2$
B
$\displaystyle f(x)=-x^{2}+x+2$
C
$\displaystyle f(x)=-x^{2}-x+2$
D
$\displaystyle f(x)=x^{2}+x-2$

Câu 12

Gọi $D$ là tập xác định của hàm số $f(x)=\sqrt{10-x^{2}}$ . Hỏi $D$ có bao nhiêu phần tử là số tự nhiên?

Câu 13

Biết đồ thị hàm số $y=ax^{2}+bx+c$ , $(a,b,c\in \mathbb{R}; a\neq 0)$ đi qua điểm $A(2;1)$ và có đỉnh $I(1;-1)$ . Tính giá trị biểu thức $T=a^{3}+b^{2}-2c$ .

A
$\displaystyle T=1$
B
$\displaystyle T=22$
C
$\displaystyle T=6$
D
$\displaystyle T=9$

Câu 14

Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A
$\displaystyle 4x^{2}+y^{2}-10x-6y-2=0$
B
$\displaystyle x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0$
C
$\displaystyle x^{2}+2y^{2}-4x-8y+1=0$
D
$\displaystyle x^{2}+y^{2}-2x-8y+20=0$

Câu 15

Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oth$ , trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; $h$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao $1,2m$ . Sau đó $1$ giây, nó đạt độ cao $8,5m$ và $2$ giây sau khi đá lên, nó đạt độ cao $6m$ . Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm)?

A
$2,57$ giây
B
$2,56$ giây
C
$2,59$ giây
D
$2,58$ giây

Câu 16

Gọi $(H)$ là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x\ge 0 \\ y\ge 0 \\ x+y\le 4 \end{cases}$ . Tính diện tích của $(H)$ .

A
$\displaystyle 8$
B
$\displaystyle 16$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 4$

Câu 17

Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ . Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|$ là đường tròn cố định có bán kính $R$ . Tính bán kính $R$ theo $a$ .

A
$\displaystyle R=\dfrac{a}{3}$
B
$\displaystyle R=\dfrac{a}{6}$
C
$\displaystyle R=\dfrac{a}{9}$
D
$\displaystyle R=\dfrac{a}{2}$

Câu 18

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, BC=a, CA=b$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A
$\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos C$
B
$\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$
C
$\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos A$
D
$\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}+2ac\cos B$

Câu 19

Cho hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{R}$ và cũng có tập giá trị trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

2f(x^{2}+2x+3)+f(x^{2}-2x+3)=6x^{2}+4x+33, \forall x\in \mathbb{R}.

Khi đó giá trị của $f(2024)$ là

A
$\displaystyle f(2024)=4.048$
B
$\displaystyle f(2024)=2043$
C
$\displaystyle f(2024)=4.053$
D
$\displaystyle f(2024)=2024^{2}$

Câu 20

Một người đi bộ xuất phát từ B trên một bờ sông (coi là đường thẳng) với vận tốc $6km/h$ để gặp một người chèo thuyền xuất phát cùng lúc từ vị trí A với vận tốc $3km/h$ (giả thiết bỏ qua vận tốc dòng nước). Nếu người chèo thuyền di chuyển theo đường vuông góc với bờ thì phải đi một khoảng cách $AH=300m$ , trong đó $BH=1400m$ . Tuy nhiên, nếu di chuyển theo cách đó thì hai người không đến cùng một lúc. Để hai người đến cùng một lúc thì mỗi người di chuyển về vị trí C nằm giữa H và B. Thời gian từ khi xuất phát cho đến khi hai người gặp nhau là bao nhiêu?

A
$10$ phút
B
$20$ phút
C
$17$ phút
D
$27$ phút

Câu 21

Lớp 10A có $10$ học sinh biết chơi bóng đá, $7$ học sinh biết chơi bóng chuyền, $6$ học sinh biết chơi bóng rổ, có $4$ học sinh biết chơi cả bóng đá, bóng chuyền; có $3$ học sinh biết chơi cả bóng đá, bóng rổ; $2$ học sinh biết chơi cả bóng chuyền, bóng rổ; $1$ học sinh biết chơi cả ba môn thể thao này. Hỏi số học sinh biết chơi ít nhất $1$ môn là

A
$\displaystyle 23$
B
$\displaystyle 14$
C
$\displaystyle 33$
D
$\displaystyle 15$

Câu 22

Miền nghiệm của hệ bất phương trình sau chứa bao nhiêu điểm có tọa độ đều là các số nguyên?

\begin{cases} x + y - 2 \le 0 \\ x + y + 2 \ge 0 \\ x - y - 2 < 0 \\ x - y + 2 \ge 0 \end{cases}

A
12
B
11
C
10
D
13

Câu 23

Giá trị biểu thức $A = \dfrac{8\cos^{3}a - 2\sin^{3}a + \cos a}{2\cos a - \sin^{3}a}$ khi $\tan a = 2$ là:

A
$\displaystyle -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C
$\displaystyle -\dfrac{3}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{3}{2}$

Câu 24

Cho hai tập $A = [1;4)$ ; $B = (a;2a+1]$ , $a > -1$ . Với giá trị nào của $a$ thì $A \cap B \neq \varnothing$

A
$\displaystyle 0 \le a < 4$
B
$\displaystyle 0 \le a \le 4$
C
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} a \ge 4 \\ a < 0 \end{array} \right.$
D
$\displaystyle 0 < a \le 4$

Câu 25

Cho hàm số $y = ax^{2} + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Trong các số $a,b,c$ có bao nhiêu số dương?

Câu 26

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [-20;20]$ để phương trình: $2x^{2} - 2mx + 1 = 3\sqrt{2x^{3} + x}$ có hai nghiệm thực phân biệt?

A
20
B
23
C
21
D
22

Câu 27

Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên để hàm số $y = 1 - \sqrt{(m+1)x^{2} - 2(m-1)x + 2 - 2m}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ ?

Câu 28

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(-1;-2)$ , $B(3;2)$ , $C(4;-1)$ . Biết điểm $E(a;b)$ di động trên đường thẳng $AB$ sao cho $|2\overrightarrow{EA} + 3\overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $a^{2} - b^{2}$ .

A
$\displaystyle a^{2} - b^{2} = \dfrac{3}{2}$
B
$\displaystyle a^{2} - b^{2} = \dfrac{2}{3}$
C
$\displaystyle a^{2} - b^{2} = 2$
D
$\displaystyle a^{2} - b^{2} = 1$

Câu 29

Cho tam giác ABC đều. Lấy các điểm E, F, M sao cho $\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AF} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BM} = k\overrightarrow{BC}$ . Để AM vuông góc với EF thì giá trị của k thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3}\right)$
B
$\displaystyle \left(0;\dfrac{1}{3}\right)$
C
$\displaystyle \left(\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4}\right)$
D
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}\right)$

Câu 30

Cho parabol $(P): y = -x^{2} + 2mx - 3m^{2} + 4m - 3$ (m là tham số) có đỉnh $I$ . Gọi $A, B$ là hai điểm thuộc $Ox$ sao cho $AB = 2024$ . Khi đó $\Delta IAB$ có diện tích nhỏ nhất bằng:

A
2024
B
4.048
C
506
D
1012

Câu 31

Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = 5 - \dfrac{1}{2}t \\ y = -3 + 3t \end{cases}$ ?

A
$\displaystyle \overrightarrow{u_{4}} = (-1; -6)$
B
$\displaystyle \overrightarrow{u_{3}} = \left(\dfrac{1}{2}; -3\right)$
C
$\displaystyle \overrightarrow{u_{2}} = \left(\dfrac{1}{2}; 3\right)$
D
$\displaystyle \overrightarrow{u_{1}} = \left(3; \dfrac{1}{2}\right)$

Câu 32

Tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\sqrt{x^{2} + 2x + 2m} = 2x + 1$ có hai nghiệm phân biệt là $S = (a; b]$ . Khi đó giá trị $P = a.b$ là

A
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{8}$
D
$\displaystyle \dfrac{2}{3}$

Câu 33

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có $A(2; -1)$ , $B(4; 5)$ và $C(-3; 2)$ . Lập phương trình đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$ .

A
$\displaystyle -3x + 7y + 13 = 0$
B
$\displaystyle 3x + 7y + 1 = 0$
C
$\displaystyle 7x + 3y + 13 = 0$
D
$\displaystyle 7x + 3y - 11 = 0$

Câu 34

Cho tam giác $ABC$ cân đỉnh $A$ . $AH$ là đường cao kẻ từ $A$ và $H \in BC$ . Biết rằng $AH^{2} = BC.AB$ . Tính $\left(\dfrac{AH}{BC}\right)^{2}$ được kết quả bằng:

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2} + 1}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}$

Câu 35

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $1$ . Gọi $M$ là điểm di động trên đường thẳng $AB$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = MB^{2} + 2MC^{2}$ .

A
$\displaystyle \dfrac{7}{4}$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle \dfrac{5}{3}$

Câu 36

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình $x^{2} - 2mx + m^{2} - 4 \le 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in [-1; 0]$ .

A
$\displaystyle -2 \le m \le 1$
B
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} m \ge 2 \\ m \le -3 \end{array} \right.$
C
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} m > 2 \\ m < -3 \end{array} \right.$
D
$\displaystyle -2 < m < 1$

Câu 37

Cho đường tròn $(C): x^{2} + y^{2} + 2x - 6y + 5 = 0$ . Tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $d: x + 2y - 15 = 0$ có phương trình là

A
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} 2x - y = 0 \\ 2x - y - 10 = 0 \end{array} \right.$
B
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} x + 2y = 0 \\ x + 2y - 10 = 0 \end{array} \right.$
C
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} x + 2y - 1 = 0 \\ x + 2y - 3 = 0 \end{array} \right.$
D
$\displaystyle \left[ \begin{array}{l} 2x - y - 6 = 0 \\ 2x - y + 4 = 0 \end{array} \right.$

Câu 38

Cho 2 vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ tạo với nhau góc $60^{\circ}$ . Biết $|\vec{a}| = 6; |\vec{b}| = 3$ . Tính $|\vec{a} + \vec{b}| + |\vec{a} - \vec{b}|$

A
$\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(2\sqrt{3} + \sqrt{51}\right)$
B
$\displaystyle 3\left(\sqrt{7} + \sqrt{3}\right)$
C
$\displaystyle 3\left(\sqrt{7} + \sqrt{5}\right)$
D
$\displaystyle 6\left(\sqrt{5} + 3\right)$

Câu 39

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho hình vuông $ABCD$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ , $N$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho $CN = 2ND$ . Giả sử $M\left(\dfrac{11}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$ và đường thẳng $AN$ có phương trình $2x - y - 3 = 0$ . Biết $A$ có tung độ dương, tính độ dài $OA$ ?

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle \sqrt{2}$
C
$\displaystyle \sqrt{41}$
D
$\displaystyle 3\sqrt{20}$

Câu 40

Cho $\alpha$ là góc tù và $\sin \alpha = \dfrac{12}{13}$ . Giá trị của biểu thức $2\sin \alpha + 3\cos \alpha$ là

A
$\displaystyle \dfrac{7}{13}$
B
$\displaystyle -1$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle \dfrac{9}{13}$

Phần B. Tự luận6,0 điểm

Câu 1

2,5 điểm

a)
Giải phương trình: $3(x^2+1)=10x\sqrt{x+1}-3x$
b)
Một cầu treo có dây chuyền đỡ là một phần của parabol như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm $A, B$ trên mỗi trụ $AA', BB'$ có độ cao $30m$ . Đoạn $A'B'$ trên nền cầu có độ dài $200m$ .
Gọi $Q', P', H', C', I', J', K'$ là các điểm chia đoạn $A'B'$ thành các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây chuyền: $QQ', PP', HH', CC', II', JJ', KK'$ được gọi là các dây cáp treo. Biết dây cáp treo ngắn nhất $CC'=5m$ , hãy tính tổng độ dài các dây cáp treo.

Câu 2

2,0 điểm

Tam giác $ABC$ có các cạnh $BC=a, AC=b, AB=c$ , thỏa mãn $a^2+b^2=2c^2$ và $\tan A+\tan C=2\tan B$ . Tính số đo góc $C$ .

Câu 3

1,5 điểm

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh có độ dài là $a$ . Gọi $E; F$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ , đường thẳng $BF$ cắt đường thẳng $AE$ tại điểm $I$ . Chứng minh rằng $\widehat{AIC}=90^0$ .

HẾT