Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 10 vòng 1 năm 2023–2024 — Trường THPT Nguyễn Gia Thiều, Hà Nội

Câu 1

4,0 điểm

Cho hàm số $y = f(x) = x^2 - 2(m-1)x + m$

4,0 điểm

1)
Tìm m để phương trình $\sqrt{x} + \sqrt{9 - x} = \sqrt{-x^2 + 9x + m}$ có nghiệm thực.
2)
Giải phương trình: $(x^2 - x)^2 - 2(x^2 - x + 3) - 18 = 0.$

4,0 điểm

1)
Một hộ nông dân dự định trồng đậu và trồng cà trên diện tích $800m^2$ . Biết rằng cứ $100m^2$ trồng đậu cần 10 công và lãi là 7 triệu đồng, cứ $100m^2$ trồng cà cần 15 công và lãi là 9 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để lãi lớn nhất, biết tổng số công không vượt quá 90 công.
2)
Một bác nông dân có $60m$ lưới muốn rào một mảng vườn hình chữ nhật để trồng rau, biết rằng một cạnh là tường, bác chỉ cần rào 3 cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Em hãy tính hộ diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể rào được?

4,0 điểm

1)
Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 2 và AD = 4. Gọi M là trung điểm cạnh AB và N trên cạnh AD sao cho $\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{8}\overrightarrow{AD}$ . Chứng minh $CM \perp BN$
2)
Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là giao điểm của MA và BN. Chứng minh rằng: AK = 6.KM

4,0 điểm

1)
Cho tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2} = 4R^2 \sin A \sin B \sin C$
2)
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của G xuống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: $a^2.\overrightarrow{GA_1} + b^2.\overrightarrow{GB_1} + c^2.\overrightarrow{GC_1} = \vec{0}$ (với $a = BC, b = AC, c = AB$ ).