Đề thi Olympic Toán chuyên THCS lần thứ 3 năm 2026 — Trường THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh

Câu 1

4,0 điểm

a)
Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c \neq 0$ và $(b + c)(c + a)(a + b) = 10$ . Tính giá trị của biểu thức:
$P = \frac{1}{a^2(a + b + c) + 10 + abc} + \frac{1}{b^2(a + b + c) + 10 + abc} + \frac{1}{c^2(a + b + c) + 10 + abc}.$
b)
Giải phương trình:
$x^2 + 3x = (1 - x).\sqrt{-3x}.$

Câu 2

4,0 điểm

a)
Cho các số thực dương $a, b, c$ có tổng bằng $2$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$S = \sqrt{\frac{ab}{ab + 2c}} + \sqrt{\frac{bc}{bc + 2a}} + \sqrt{\frac{ca}{ca + 2b}}.$
b)
Có bao nhiêu đa thức $P(x)$ bậc hai, hệ số nguyên, có hai nghiệm nguyên phân biệt và thỏa mãn $P(0) = 2026$ ?

Câu 3

7,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ . Lấy điểm $M$ trên cạnh $AB$ , điểm $N$ trên cạnh $AC$ ; các điểm $P$ và $Q$ trên cạnh $BC$ sao cho $MNPQ$ là hình chữ nhật. Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $AB$ cắt $NP$ tại $K$ . Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $AC$ cắt $MQ$ tại $L$ .

a)
Chứng minh rằng $KLMN$ là hình chữ nhật.
b)
Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ ; $BH$ cắt $MQ$ tại $U$ , $CH$ cắt $NP$ tại $V$ . Chứng minh rằng $\widehat{HUV} = \widehat{ALK}$ .
c)
Gọi $X$ là giao điểm của $LP$ và $QK$ ; $Y$ là giao điểm của $LC$ và $BK$ . Chứng minh $XY, BC, AH$ đồng quy.

Câu 4

3,5 điểm

a)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $x^2 + y^2 - 2x + y = 9$ .
b)
Cho $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p \equiv 3 \pmod{4}$ và $a, b$ là các số tự nhiên. Chứng minh rằng nếu $p$ là ước của $a^2 + b^2$ thì $p$ là ước của cả $a$ và $b$ .

Câu 5

1,5 điểm

Cho một bảng ô vuông kích thước $7 \times 8$ (gồm 7 hàng, 8 cột) như hình vẽ. Các đỉnh của các ô vuông đơn vị gọi là các điểm nút.

Bảng ô vuông kích thước 7×8 với hình chữ nhật 3×2 được tô sọc ở trung tâm

a)
Có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là các điểm nút và có các cạnh song song (có thể trùng) với các cạnh của bảng? Hình vẽ trên minh họa một hình chữ nhật như vậy.
b)
Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện ở câu a, tính xác suất để hình chữ nhật được chọn là hình vuông.