Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2026 — Sở GD&ĐT Đắk Lắk

Câu 1

3,5 điểm

1)
Cho biểu thức $P=\left(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\dfrac{8x}{4-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)$ (với $x>0, x\ne 4$ ). Tìm số thực $m$ để với mọi $x>9$ ta có $m\left(\sqrt{x}-3\right)P>x+1$ .
2)
Cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=mx+1$ (với $m$ là tham số).
1. a)
  Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt A và B.
2. b)
  Gọi hoành độ của điểm A và điểm B lần lượt là $x_1$ và $x_2$ . Chứng minh rằng $|x_1-x_2|\ge 2$ .

3,5 điểm

1)
Giải phương trình: $\sqrt{2x^2+3x+5}+\sqrt{2x^2-3x+5}=3x$
2)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{y}}=2 \\ \dfrac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{x}}=2 \end{cases}$

1,5 điểm

Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số.

1)
Tìm số phần tử của tập hợp A gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số tự nhiên được viết ra.
2)
Tính xác suất của biến cố “Số tự nhiên được viết ra là số chia cho 9 dư 1”.

3,5 điểm

Bên trong tam giác ABC lấy một điểm O tùy ý. Các tia AO, BO, CO cắt BC, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. Chứng minh rằng:

3,5 điểm

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ . Vẽ AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

1)
Chứng minh: $BC^2=4AH.HO$ .
2)
Gọi $M$ là điểm trên đoạn thẳng $BH$ , đường thẳng $AM$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$ và $E$ ( $D$ nằm giữa $A$ và $E$ ). Chứng minh rằng: $AM.(AD+AE)=2AB^2$ .
3)
Chứng minh bốn điểm $D, E, O, H$ cùng thuộc một đường tròn.

2,5 điểm

1)
Cho số nguyên tố $p$ thỏa mãn $\frac{1}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ với $a, b$ là hai số tự nhiên khác $0$ . Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $a$ hoặc $b$ là số chính phương.
2)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^3+x^2+x+1=y^3$ .

2,0 điểm

Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2=x+2$ . Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+2y$ .