Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2026 — Sở GD&ĐT Gia Lai

Câu 1

4,5 điểm

1)
Cho biểu thức $A=\left(\dfrac{x+4\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)$ với $x>0, x\neq 1$ .
1. a)
  Rút gọn biểu thức $A$ .
2. b)
  Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $A \geq \dfrac{\sqrt{1013}+\sqrt{2026}}{\sqrt{2026}}$ .
2)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho điểm $M(1;3)$ và đường thẳng $d: y=ax+b$ với $a>0$ . Tìm các giá trị $a, b$ để đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ và cắt các trục tọa độ $Ox, Oy$ lần lượt tại hai điểm $A, B$ ( $A, B$ khác gốc tọa độ) sao cho $OA+OB=\sqrt{2}AB$ .

Câu 2

4,5 điểm

1)
Giải phương trình $x^{2}-17x+40+10\sqrt{x-1}=0$ .
2)
Cho $S$ là tập hợp các số tự nhiên gồm có ba chữ số và bốn chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập hợp $S$ . Tính xác suất để chọn được số có chữ số tận cùng bằng $1$ và chia hết cho $7$ .

Câu 3

4,0 điểm

1)
Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ và $y$ thỏa mãn $x^{2}-2y^{2}+xy+3x-3y-7=0$ .
2)
Cho ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{a+2}{a^{2}+a+1}+\frac{b+2}{b^{2}+b+1}+\frac{c+2}{c^{2}+c+1}.$

Câu 4

5,0 điểm

Cho đường tròn $(O; R)$ và dây cung $BC$ cố định không đi qua tâm $O$ . Lấy điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ có $AB<AC$ , $D$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$ . Từ $B$ kẻ $BH$ vuông góc $AD$ với $H$ thuộc $AD$ , từ $D$ kẻ $DK$ vuông góc $AC$ với $K$ thuộc $AC$ . Đường thẳng $BH$ cắt $(O)$ và $AC$ lần lượt tại $E$ ( $E\neq B$ ) và $F$ .

a)
Chứng minh ba điểm $D, K, E$ thẳng hàng và $HK$ song song với $BC$ .
b)
Kẻ $DL$ vuông góc $AB$ với $L$ thuộc $AB$ . Gọi $I$ là giao điểm của $KL$ và $BC$ . Chứng minh $OI$ vuông góc với $HK$ .
c)
Chứng minh đường thẳng $AE$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 5

2,0 điểm

Cho bảng ô vuông kích thước $2026\times 2026$ gồm có $2026^{2}$ ô vuông đơn vị (hình vuông có cạnh bằng $1$ đơn vị). Ghi ngẫu nhiên các số tự nhiên $1, 2, \ldots, 2026^{2}$ vào các ô vuông đơn vị của bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị được ghi một số và hai ô vuông đơn vị khác nhau ghi hai số khác nhau. Kí hiệu “ô $x$ ” là ô vuông đơn vị ghi số tự nhiên $x$ . Ban đầu các ô vuông đơn vị chưa có màu. Thực hiện tô màu các ô vuông đơn vị của bảng theo quy tắc sau: Lần thứ nhất tô màu tùy ý $k$ ô vuông đơn vị của bảng, các lần tiếp theo tô màu “ô $a$ ” nếu hàng ngang chứa “ô $a$ ” đã có “ô $b$ ” (với $b<a$ ) được tô màu hoặc cột dọc chứa “ô $a$ ” đã có “ô $c$ ” (với $c>a$ ) được tô màu. Biết rằng với mọi cách ghi số thì theo quy tắc trên tất cả các ô vuông đơn vị đều được tô màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ .