Đề thi Olympic Toán 9 năm 2025–2026 — Trường THPT chuyên Thái Nguyên

Câu 1

1,0 điểm

Giải phương trình $2\sqrt{2x+1}=x+2\sqrt{x-3}$

Câu 2

1,0 điểm

Tìm tất cả các số thực $m,n$ để phương trình $x^{2}+5mx+3n=0$ có hai nghiệm thực phân biệt $a,b>0$ và phương trình $x^{2}+2mx+n=0$ có hai nghiệm thực $\sqrt{a},\sqrt{b}$ .

Câu 3

1,0 điểm

Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ thỏa mãn dư của phép chia đa thức $P(x)$ cho các đa thức $x^{2}+7x+10$ và $x^{2}+5x+6$ lần lượt là $2x-1$ và $x+7$ ?

Câu 4

2,0 điểm

a)
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n^{4}-15n^{2}+25$ là số nguyên tố.
b)
Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn cả ba số
$A=a^{3}+bc(2a+3b+3c);\; B=b^{3}+ca(2b+3c+3a);\; C=c^{3}+ab(2c+3a+3b)$
đều chia hết cho $11$ . Chứng minh rằng cả ba số $a,b,c$ cùng chia hết cho $11$ .

Câu 5

1,0 điểm

Cho các số thực dương $a,b,c$ thay đổi, thỏa mãn $a+b+c=3$ . Chứng minh

a^{4}b+b^{4}c+c^{4}a+18\ge 7(ab+bc+ca).

Câu 6

1,0 điểm

Gieo ngẫu nhiên đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố “Tích các số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn tổng của chúng”.

Câu 7

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, có $AB<AC$ , có các đường cao $BE,CF$ . Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,U,V$ . Giả sử đường thẳng $DI$ cắt các đường thẳng $AC,AB$ lần lượt tại các điểm $M,N$ .

a)
Chứng minh rằng các tứ giác $BDEM$ và $CDFN$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDE$ cắt đường thẳng $AB$ tại điểm $K\ne B$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDF$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm $H\ne C$ . Chứng minh rằng tứ giác $HKMN$ là tứ giác nội tiếp, từ đó suy ra $HK\perp EF$ .
c)
Đường thẳng $HK$ lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BDE,CDF$ lần lượt tại các điểm $X,Y$ (với $X\ne K$ và $Y\ne H$ ). Gọi $J$ là giao điểm của các đường thẳng $YV$ và $XU$ . Chứng minh rằng $J$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $DXY$ .