Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025–2026 — Sở GD&ĐT Tuyên Quang

Câu 1

5,0 điểm

a)
Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{4}{\sqrt{5} - 1} + \sqrt{13 - 4\sqrt{3}} - \sqrt{17 + 4\sqrt{15}}$ .
b)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = 3x + \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Câu 2

5,0 điểm

a)
Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình $\dfrac{x^{2} - x + m - 5}{x - 2} = 1$ có hai nghiệm phân biệt.
b)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} \left(x^{2} + y^{2}\right) \cdot \dfrac{x + y + 1}{y + 1} = 4 \\ \dfrac{x^{2} + y^{2}}{y + 1} + x + y = 3 \end{cases}$

Câu 3

5,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC} > 90^{\circ}$ , $AB < AC$ và nội tiếp trong đường tròn $(I)$ . Gọi $X$ là điểm đối xứng với $A$ qua $I$ . Hai điểm $D, E$ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $BX$ và $CX$ sao cho $I$ là trung điểm của $DE$ .

1)
Chứng minh rằng:
1. a)
  $\widehat{CAD} = 90^{\circ}$ ;
2. b)
  Hai tam giác $ABC$ và $EXA$ đồng dạng.
2)
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ . Chứng minh rằng $OA$ đi qua trung điểm của $BC$ .

Câu 4

3,0 điểm

Với mỗi số nguyên dương $n$ ta kí hiệu $A_{n} = 1 + n \cdot 2^{n}$ .

a)
Tìm dư khi chia $A_{2026}$ cho $15$ .
b)
Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng: $A_{p-2}$ và $A_{p-1}$ có ước chung lớn nhất không nhỏ hơn $p$ .

Câu 5

2,0 điểm

Cho $26$ số nguyên dương phân biệt $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{26}$ không chia hết cho $51$ . Chứng minh rằng tồn tại hai số $a_{m} \neq a_{n}$ thỏa mãn: $a_{m}^{2} - a_{n}^{2}$ chia hết cho $51$ .