Đề thi Olympic Toán 8 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Thanh Oai, Hà Nội

Câu I

5,0 điểm

1)
Cho biểu thức $A = \dfrac{17x - 8}{(x + 2)(x - 5)} + \dfrac{4x}{x + 2} - \dfrac{2x + 1}{x - 5}$ với $x \neq -2, x \neq 5$
1. a)
  Chứng minh $A = \dfrac{2x + 2}{x + 2}$
2. b)
  Tính giá trị của A khi $|x| = 5$
3. c)
  Tìm giá trị nguyên của $x$ để A nhận giá trị nguyên.
2)
Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số không vượt quá 50. Tính xác suất của biến cố A: “Số tự nhiên được viết ra là số chính phương”.

Câu II

4,0 điểm

1)
Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $x^2 - 7xy + 12y^2 + x - 3y - 1 = 0$
2)
Tìm các số tự nhiên $x, y$ sao cho: $x^2 - 3x + 1 = 5^y$ .

Câu III

4,0 điểm

1)
Cho các số thực $a, b$ thỏa mãn: $2a^2 + 5b^2 + 4ab - 4a + 2b + 5 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức $A = 2a^4 - 5b^3 - 1$ .
2)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = a(a^2 + 3b) + b(b^2 - a)$ biết $a + b = 2$ .

Câu IV

6,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB < AC$ , đường cao $AH$ ( $H$ thuộc $BC$ ). Trên tia đối của tia $BA$ lấy $D$ sao cho $AB = BD$ . Kéo dài $AH$ cắt $CD$ tại $I$ . Kẻ đường thẳng vuông góc với $CD$ tại $I$ , đường thẳng này cắt $AD$ tại $K$ .

a)
Chứng minh $AB^2 = BH.BC$ và $\dfrac{BD}{BH} = \dfrac{BC}{BD}$ .
b)
Chứng minh $\triangle HDB$ đồng dạng với $\triangle DBC$ và tam giác $KHD$ vuông.
c)
Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $H$ . Kẻ đường thẳng từ $K$ song song với $AC$ , cắt $DE$ tại $N$ . Chứng minh: $KA.KD = KH.KC$ và $CN$ vuông góc với $CD$

Câu V

1,0 điểm

Chia 2024 số $1; 2; ...; 2024$ thành 1012 nhóm $(a_1, b_1), (a_2, b_2), ..., (a_{1012}, b_{1012})$ sao cho với mọi $i = 1, 2, ..., 1012$ thì $|a_i - b_i|$ nhận một trong hai giá trị là 1 hoặc 6. Chứng minh tổng $S = |a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_{1012} - b_{1012}|$ có chữ số tận cùng là 2.