Đề thi Olympic Toán 8 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT thị xã Hoàng Mai, Nghệ An

Tìm số nguyên $x, y$ thỏa mãn $x^2 - 2x + 2y = 2(xy + 2)$.

Chứng minh rằng $a^3b - ab^3$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên $a, b$.

Tìm số nguyên $n$ sao cho biểu thức $B = n^2 + 2n + 8$ có giá trị là số chính phương.

Rút gọn biểu thức $A = \left(\frac{x}{xy - y^2} + \frac{y}{x^2 - xy}\right) : \frac{x^2 + y^2}{x^2y - xy^2}$ ($x \neq y$ và $x; y \neq 0$).

Đa thức $P(x)$ chia cho đa thức $x - 3$ dư 5, $P(x)$ chia cho đa thức $x - 2$ dư 6. Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức $P(x)$ cho đa thức $x^2 - 5x + 6$.

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $x + y + z = 3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x(2x + z) + y(6y + z)$.

Một Robot chuyển động từ A đến B theo cách sau: Sau khi đi được 4m dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lại 2 giây, đi tiếp 12m dừng lại 3 giây, ... Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Tính khoảng cách từ A đến B. Biết rằng khi đi Robot luôn có tốc độ là 2m/s.

Chứng minh $\triangle AEF$ đồng dạng với $\triangle ABC$.

Chứng minh $\frac{AE.BF}{DE.EF} = \frac{FD}{CD}$.

Trên tia đối của tia DH lấy K sao cho $DK = DH$, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DE và KC. Chứng minh rằng $\widehat{BMN} = 90^{0}$.