Đề thi chọn học sinh năng khiếu Toán 8 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Tam Nông, Phú Thọ

Thời gian: 150 phút
Số câu: 20 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 16 câu · 8,0 điểm

Phần II. Tự luận — 4 câu · 12,0 điểm

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn8,0 điểm

Câu 1

Phân tích đa thức $x^2 + 4x - 5 + 2025(x + 5)$ thành nhân tử được kết quả là

A
$\displaystyle (x+5)(x+2024)$
B
$\displaystyle (x-5)(x+2024)$
C
$\displaystyle (x+5)(x+2025)$
D
$\displaystyle (x+5)(x+2026)$

Câu 2

Đa thức $f(x) = 8x^2 + (a + 1)x + b + 2$ chia hết cho $x + 1$ . Giá trị $a - b$ là

A
$\displaystyle -9$
B
$\displaystyle 9$
C
$\displaystyle -10$
D
$\displaystyle 11$

Câu 3

Cho $x^2 + y^2 + 1 = xy + x + y$ . Giá trị $(x - 2)^{2023} + (2 - y)^{2025}$ là

A
$\displaystyle -2$
B
$\displaystyle 4$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 0$

Câu 4

Cho $x, y$ thỏa mãn $x^3 + y^3 = -2$ và $x^2 + y^2 = -x - y$ . Giá trị $x + y$ là

A
$\displaystyle -2$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle -1$
D
$\displaystyle 1$

Câu 5

Rút gọn $P = \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} : \left(\dfrac{x + 1}{x} + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2 - x^2}{x^2 - x}\right), (x \neq 1, x \neq 0)$ được kết quả là $P = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x - 1}$ . Khi đó giá trị $a^2 + b^2 + c^2$ là

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{4}$

Câu 6

Cho phương trình $\left(3x - \dfrac{1}{2}\right)^2 = 4$ . Tổng các nghiệm của phương trình là

A
$\displaystyle \dfrac{5}{6}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{6}$
C
$\displaystyle \dfrac{-1}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Câu 7

Số giá trị $m$ để đồ thị hàm số $y = (m^2 + 1)x + 4 - m$ song song với đường thẳng $y = 5x + 2$ là

A
$\displaystyle \pm 2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle -2$

Câu 8

Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc ba lần liên tiếp, xác suất để số chấm ba lần gieo đều là các số chẵn là

A
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{8}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{16}$
D
$\displaystyle \dfrac{3}{216}$

Câu 9

Hình thang cân $ABCD$ $(AB // CD)$ , $DA = AB = BC$ , $\widehat{DAB} = 120^\circ$ . Số đo $\widehat{DBC}$ là

A
$\displaystyle 90^\circ$
B
$\displaystyle 60^\circ$
C
$\displaystyle 70^\circ$
D
$\displaystyle 45^\circ$

Câu 10

Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{DAB} = 110^\circ$ , $\widehat{BCD} = 70^\circ$ , $Bx$ là tia đối của tia $BA$ . Tia phân giác của $\widehat{ADC}$ và phân giác góc $\widehat{CBx}$ cắt nhau tại $I$ (tia $DI$ nằm giữa hai tia $DB$ và $DC$ ). Số đo $\widehat{DIB}$ là

A
$\displaystyle 110^\circ$
B
$\displaystyle 100^\circ$
C
$\displaystyle 90^\circ$
D
$\displaystyle 70^\circ$

Câu 11

Cho tam giác $ABC$ , $M$ là một điểm trên cạnh $BC$ , kẻ $ME // AC$ và $MD // AB$ $(E \in AB, D \in AC)$ . Khi đó:

A
$\displaystyle \dfrac{ME}{AC} + \dfrac{MD}{AB} = 1,2$
B
$\displaystyle \dfrac{ME}{AC} + \dfrac{MD}{AB} = 1$
C
$\displaystyle \dfrac{ME}{AC} + \dfrac{MD}{AB} = \dfrac{3}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{ME}{AC} + \dfrac{MD}{AB} = \dfrac{4}{3}$

Câu 12

Cho hình thang $ABCD$ $(AB // CD)$ . $P, Q$ lần lượt là trung điểm của $DB$ và $AC$ , khi đó:

A
$\displaystyle PQ = \dfrac{AB + CD}{2}$
B
$\displaystyle PQ = \dfrac{2AB + CD}{2}$
C
$\displaystyle PQ = \dfrac{|AB - CD|}{2}$
D
$\displaystyle PQ = \dfrac{3|AB - CD|}{4}$

Câu 13

Một hình thoi có cạnh $10 cm$ , tỉ số hai đường chéo là $\dfrac{3}{4}$ . Diện tích hình thoi là

A
$\displaystyle 96 cm^2$
B
$\displaystyle 54 cm^2$
C
$\displaystyle 48 cm^2$
D
$\displaystyle 24 cm^2$

Câu 14

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , trung tuyến $BM$ . Gọi $D$ là hình chiếu của $C$ trên đường thẳng $BM$ , khi đó

A
$\displaystyle BM.BD = \dfrac{4}{3}AC^2$
B
$\displaystyle BM.BD = \dfrac{5}{4}AC^2$
C
$\displaystyle BM.BD = AC^2$
D
$\displaystyle BM.BD = \dfrac{3}{2}AC^2$

Câu 15

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh đáy $2\,cm$ . Tam giác $SBD$ đều (Như hình vẽ), thể tích hình chóp $S.ABCD$ là

A
$\displaystyle 2\sqrt{6}\,cm^3$
B
$\displaystyle 4\sqrt{6}\,cm^3$
C
$\displaystyle \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\,cm^3$
D
$\displaystyle \dfrac{4\sqrt{6}}{3}\,cm^3$

Câu 16

Để lập một đội tuyển năng khiếu về bóng chuyền của một trường. Thầy thể dục đưa ra quy định: Mỗi bạn dự tuyển phải phát bóng đủ 10 lần, lần phát bóng đạt yêu cầu được cộng 3 điểm; lần phát bóng không đạt yêu cầu bị trừ 2 điểm. Bạn nào có số điểm từ 20 điểm trở lên sẽ được chọn vào đội tuyển. Nếu muốn vào đội tuyển phải phát bóng ít nhất bao nhiêu lần đạt yêu cầu

Phần II. Tự luận12,0 điểm

Câu 1

3,5 điểm

a)
Tìm các số nguyên $x, y$ biết $y^2 - xy - 2x - 1 = 0$ .
b)
Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $n^4 - 16n^2 + 100$ là một số nguyên tố.

Câu 2

3,5 điểm

a)
Giải phương trình $6x^4 + 7x^3 + 5x^2 - x - 2 = 0$ .
b)
Cho các số thực $x, y \neq 0; x + y \neq 0$ thỏa mãn: $\dfrac{a^2}{x} + \dfrac{b^2}{y} = \dfrac{1}{x + y}$ và $a + b = 1$ .

Chứng minh $\left(\dfrac{a}{x}\right)^8 + \left(\dfrac{b}{y}\right)^8 = \dfrac{2}{(x + y)^8}$ .

Câu 3

4,0 điểm

Cho hình chữ nhật $ABCD$ , hai đường chéo cắt nhau tại $O$ . $P$ là một điểm di động trên đoạn thẳng $OB$ ( $P$ khác $O$ và $B$ ). $M$ là điểm đối xứng của $C$ qua $P$ , kẻ $ME$ vuông góc với đường thẳng $AD$ tại $E$ và kẻ $MF$ vuông góc với đường thẳng $AB$ tại $F$ .

a)
Chứng minh: $MA$ song song với $BD$ và $AB$ là tia phân giác của $\widehat{MAC}$ .
b)
Chứng minh $E, F, P$ thẳng hàng.
c)
Chứng minh $\left(\dfrac{EF}{MF}\right)^2$ không đổi khi $P$ di động trên đoạn thẳng $OB$ .

Câu 4

1,0 điểm

Cho các số dương $x, y, z$ thỏa mãn $x + y + z = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = \left(\dfrac{xy}{z} + \dfrac{yz}{x} + \dfrac{xz}{y}\right)^2 + 4(xy + yz + zx).

HẾT