Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 8 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Yên Mô, Ninh Bình

Câu 1

5,0 điểm

1)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1. a)
  $x^4 + 2024x^2 + 2023x + 2024$
2. b)
  $x(x+4)(x+6)(x+10)+128$
2)
Cho x, y là các số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn: $\frac{1-2x}{1-x} + \frac{1-2y}{1-y} = 1$ .

Chứng minh $M = x^2 + y^2 - xy$ là bình phương của một số hữu tỉ.
3)
Cho biểu thức $A = \frac{x^3 + x^2}{x^3 - 2x^2 + x} : \left(\frac{x^2 + x}{x^2} + \frac{1}{x-1} + \frac{2-x^2}{x^2 - x}\right)$ với $x \neq 0; x \neq \pm 1$
1. a)
  Rút gọn biểu thức
2. b)
  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A khi $x > 1$ .

4,0 điểm

1)
Giải các phương trình sau: $\frac{4}{x^2 - 4} + \frac{1}{x^2 + 5x + 6} = \frac{-5}{4}$
2)
Cho $a + b + c = 2025$ . Tính giá trị biểu thức: $P = \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc}$ .
3)
Cho hai đa thức $P(x) = ax^4 + bx^3 + 1$ và $Q(x) = x^2 - 2x + 1$ . Xác định các giá trị của $a$ và $b$ để đa thức $P(x)$ chia hết cho đa thức $Q(x)$ .

4,0 điểm

1)
Cho a, b là 2 số dương thỏa mãn $a + b \le \frac{4}{5}$ . Chứng minh: $P = a + b + \frac{a+b}{ab} \ge \frac{29}{5}$ .
2)
Tìm các số tự nhiên $n$ để $(n^2 - 8)^2 + 36$ là số nguyên tố.

6,0 điểm

1)
Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB < AC$ . Kẻ đường cao $AH$ ( $H \in BC$ ), phân giác $AM$ ( $M \in BC$ ). Kẻ $ME$ vuông góc với $AB$ tại $E$ , $MF$ vuông góc với $AC$ tại $F$ .
1. a)
  Chứng minh: $BE.BA = BH.BM$ và $HE$ là tia phân giác của góc $AHB$ .
2. b)
  Chứng minh: $\frac{BE}{CF} = \frac{HB}{HC}$ .
2)
Một khối chóp đựng nước có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng 9 dm, diện tích toàn phần bằng 204 $dm^2$ và diện tích xung quanh bằng 168 $dm^2$ . Giả sử người ta sử dụng khối chóp này để chứa nước tưới tiêu cho cây hoa màu. Biết rằng cứ cách một ngày sẽ phải tưới nước một lần, mỗi lần tưới hết 10 lít nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày sẽ dùng hết số nước trong khối chóp?

1,0 điểm

1)
Trong 43 học sinh làm bài kiểm tra, không có học sinh nào bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh đạt điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên).
2)
Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đối thủ của đội trường A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội trường B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đối thủ của hai đội. Tính số đối thủ của trường A và trường B.