Đề thi Olympic Toán 7 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Thanh Oai, Hà Nội

Câu 1

5,0 điểm

1)
Tính giá trị biểu thức sau:
1. a)
  $A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 19.20)(\sqrt{169} - 2)(\sqrt{169} - 3)(\sqrt{169} - 4)...(\sqrt{169} - 20)$
2. b)
  $B = \dfrac{5.4^{15}.9^{9} - 4.3^{20}.8^{9}}{5.2^{10}.6^{19} - 7.2^{29}.27^{6}}$
2)
Tìm ba số $x, y, z$ thỏa mãn: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{5}$ và $2x^{2} + 2y^{2} - 3z^{2} = -100$ .

Câu 2

4,0 điểm

1)
Có hai chiếc hộp giống nhau. Trong mỗi hộp chứa 4 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, 4 (hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau). Rút ngẫu nhiên một thẻ ở trong mỗi hộp. Tính xác suất để rút được hai thẻ ghi số giống nhau trong cùng một lần rút?
2)
Cho các số $x, y$ thỏa mãn $|x - 3|^{2023} + (3y - 1)^{2024} \le 0$ . Tính giá trị của biểu thức $M = 2x^{2}y + 9xy^{2}$

Câu 3

4,0 điểm

1)
Tìm số nguyên $x, y$ biết $2xy - 3 = x - y$
2)
Cho $x, y, z$ là các số nguyên thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2xyz$ . Chứng minh $xyz \vdots 24$

Câu 4

6,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC$ , có $D$ là trung điểm $BC$ . Trên đoạn $BD$ lấy $E$ (khác $B, D$ ), trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $F$ sao cho $BE = CF$ . Kẻ các đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $E$ cắt $AB$ tại $G$ , đường vuông góc với $BC$ tại $F$ cắt $AC$ tại $H$ . Gọi giao điểm của $GH$ với $BC$ là $I$

a)
Chứng minh $BG = CH, IG = IH$
b)
Kẻ đường thẳng vuông góc với $CA$ tại $C$ , cắt $AD$ tại $M$ . Chứng minh $MI$ vuông góc với $GH$
c)
Đường thẳng vuông góc với $DG$ tại $D$ cắt $AC$ tại $K$ , chứng minh rằng:

$AK + AG \le DG + DK$

Câu 5

1,0 điểm

Tìm số tự nhiên $m, n$ sao cho $2^{n} + 3^{m} + 4$ là số chính phương