Đề giao lưu học sinh giỏi Toán 7 năm 2024 — Cụm chuyên môn số 4, Phòng GD&ĐT Bá Thước, Thanh Hóa

$A = \dfrac{4^6.9^5 + 6^9.120}{8^4.3^{12} - 6^{11}}$

$B = \left(1 - \dfrac{1}{3}\right)\left(1 - \dfrac{1}{6}\right)\left(1 - \dfrac{1}{10}\right)\left(1 - \dfrac{1}{15}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{1}{210}\right)$

$C = 28a^2b - 9ab^2$ với $a, b$ thỏa mãn $(a - 3)^2 + (3b + 1)^{100} \leq 0$

Tìm $x, y, z$ biết $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-3}{4} = \dfrac{z-2}{3}$ và $x - 3y + 4z = 4$.

Cho đa thức $f(x) = ax^2 + bx + c$. Biết $21a - 3b + 5c = 0$. Chứng minh: $f(1).f(-3) \leq 0$

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn: $3x - y + xy - 10 = 0$.

Cho $n$ là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm $n$ biết $n + 4$ và $2n$ là các số chính phương.

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $D$ là điểm thuộc đoạn thẳng $BM$ ($D$ khác $B$ và $M$). Kẻ các đường thẳng $BH$, $CI$ lần lượt vuông góc với đường thẳng $AD$ tại $H$ và $I$.

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^\circ$. Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ ($H$ thuộc $BC$). Chứng minh rằng: $AB + AC < BC + AH$.

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

$ab + bc + ca \leq a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ca)$

Giả sử $p; q$ là 2 số nguyên tố thỏa mãn đồng thời các điều kiện $p > q > 3$; $p - q = 2$. Chứng minh rằng $p^3 + q^3$ chia hết cho $36$.