Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 7 năm 2023–2024 — Trường THCS Quảng Chính, Thanh Hóa

Câu 1

4,0 điểm

1)
Thực hiện phép tính:
1. a)
  $A = \left(\dfrac{-5}{9} + \dfrac{9}{15}\right) : \left(\dfrac{-3}{2}\right) + \left(\dfrac{-4}{9} + \dfrac{8}{20}\right) : \left(\dfrac{-3}{2}\right)$
2. b)
  $B = \dfrac{6^{8} \cdot 2^{4} - 4^{5} \cdot 18^{4}}{27^{3} \cdot 8^{4} - 3^{9} \cdot 2^{13}}$
2)
Tính giá trị biểu thức $Q = \dfrac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{abc}$ với a, b, c thỏa mãn: $(3a - 2b)^{2} + |4b - 3c| \le 0$

4,0 điểm

1)
Tìm $x$ biết: $\left|x - \dfrac{1}{3}\right| + \dfrac{4}{5} = \left|(-3,2) + \dfrac{2}{5}\right|$
2)
Tìm $x, y, z$ biết $(2x - 3)^{2020} + \left(y - \dfrac{2}{5}\right)^{2022} + |x + y - z| \le 0$
3)
Tìm $x; y; z$ biết $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{7}; \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{6}$ và $x + y - z = 39$
4)
Ba thửa ruộng hình chữ nhật A, B, C có cùng diện tích. Chiều rộng các thửa ruộng A; B; C lần lượt tỉ lệ thuận với 4; 5; 6. Chiều dài của thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài của thửa ruộng B và C là 42 m. Tính chiều dài mỗi thửa ruộng?

4,0 điểm

1)
Chứng minh rằng: $3a + 2b \vdots 17 \Leftrightarrow 10a + b \vdots 17$ $(a, b \in \mathbb{Z})$
2)
Tìm cặp số $(x, y)$ nguyên thỏa mãn: $x^{2} - x(y + 5) = -4y - 9$

6,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ ( $D$ khác $B, C$ ). Trên tia đối của tia $CB$ , lấy điểm $E$ sao cho $CE = BD$ . Đường vuông góc với $BC$ kẻ từ $D$ cắt $AB$ tại $M$ . Đường vuông góc với $BC$ kẻ từ $E$ cắt đường thẳng $AC$ tại $N$ , $MN$ cắt $BC$ tại $I$ .
1. 1)
  Chứng minh $DM = EN$ .
2. 2)
  Chứng minh $IM = IN, BC < MN$ .
3. 3)
  Gọi $O$ là giao của đường phân giác góc $A$ và đường thẳng vuông góc với $MN$ tại $I$ . Chứng minh rằng $\Delta BMO = \Delta CNO$ . Từ đó suy ra điểm $O$ cố định.
2)
Bác Long có một căn phòng hình hộp chữ nhật có một cửa ra vào và một cửa sổ hình vuông với các kích thước như hình bên. Hỏi bác Long cần trả bao nhiêu chi phí để sơn bốn bức tường xung quanh của căn phòng này (không sơn cửa)? Biết rằng để sơn mỗi mét vuông tốn 30 nghìn đồng.

2,0 điểm

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

$ab + bc + ca \le a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2(ab + bc + ca)$