Đề thi Olympic Toán 11 năm 2025 — Liên cụm trường THPT, Sở GD&ĐT Hà Nội

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \cos 2x + \sin x + 1$ trên đoạn $\left[-\frac{\pi}{4}; \pi\right]$ bằng bao nhiêu?

Mẫu số liệu ghép nhóm về tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên quần vợt được cho trong bảng sau:

Trung vị của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu?

Giá trị của $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{x+3} - \sqrt[3]{2x+1}}{x^2 - 4}$ bằng bao nhiêu?

Một cấp số cộng có chẵn số hạng. Tổng các số hạng thứ lẻ là 24, tổng các số hạng thứ chẵn là 30. Biết rằng số hạng cuối lớn hơn số hạng đầu là $\frac{21}{2}$, cấp số cộng đó có bao nhiêu số hạng?

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x^2 + 3} + ax + b}{x - 1} & \text{khi } x \ne 1 \\ 2 & \text{khi } x = 1 \end{cases}$

. Biết hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x = 1$, giá trị của $ab$ bằng bao nhiêu?

Phương trình $\cot\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) - \frac{\cos x}{1 + \sin x} = 2$ có bao nhiêu nghiệm trên đoạn $[0; 2025\pi]$?

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có mọi số hạng đều dương và công bội $q \ne 1$. Biết $u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = \frac{45}{4}$ và $\frac{1}{u_1} + \frac{1}{u_2} + \frac{1}{u_3} + \frac{1}{u_4} = \frac{5}{2}$, giá trị của $u_1.u_2.u_3.u_4$ bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện $ABCD$ và $O$ là điểm bất kì nằm bên trong tam giác $BCD$. Qua điểm $O$ kẻ các đường thẳng song song với $AB, AC, AD$ theo thứ tự cắt các mặt phẳng $(ACD), (ABD), (ABC)$ lần lượt tại các điểm $M, N, P$. Giá trị của biểu thức $T = \dfrac{OM}{AB} + \dfrac{ON}{AC} + \dfrac{OP}{AD}$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh $SA = 2a$ và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai đường thẳng $AC$ và $SD$. Khi đó giá trị của $\cos \alpha$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AB = BC = a, AD = 2a$. Cạnh $SA = 2a$ và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SB, CD$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Khi đó giá trị của $\sin \alpha$ bằng bao nhiêu?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\sin 2x - 2m\sin x - \cos x + m = 0$ có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn $\left[0; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Cho tứ diện $OABC$ có ba đường thẳng $OA; OB; OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = \dfrac{2(n+2)u_n}{n+1} + n + 2, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$

.