Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2024 — Trường THPT Triệu Sơn 4, Thanh HóaMã đề 111

Thời gian: 90 phút
Số câu: 35 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn12,0 điểm

Câu 1

Biết $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} = \frac{a}{b^2}$ ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $a, b > 0$ ). Tính $\sqrt{a}+b+2024$ .

A
$\displaystyle 2025$
B
$\displaystyle 2027$
C
$\displaystyle 2026$
D
$\displaystyle 2024$

Câu 2

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{0,9}(x^2-9) > \log_{0,9}(8x)$ là

A
$\displaystyle (9;+\infty)$
B
$\displaystyle (-\infty;-1) \cup (9;+\infty)$
C
$\displaystyle (-1;9)$
D
$\displaystyle (3;9)$

Câu 3

Tìm $L = \lim\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+...+\frac{1}{1+2+...+n}\right)$

A
$\displaystyle L=2$
B
$\displaystyle L=\frac{3}{2}$
C
$\displaystyle L=+\infty$
D
$\displaystyle L=\frac{5}{2}$

Câu 4

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Tính góc giữa hai đường thẳng $B'D'$ và $A'A$ .

A
$\displaystyle 45^{\circ}$
B
$\displaystyle 90^{\circ}$
C
$\displaystyle 60^{\circ}$
D
$\displaystyle 30^{\circ}$

Câu 5

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1=2$ và công sai $d=2$ . Tìm số hạng $u_{2023}$ .

A
$\displaystyle u_{2023}=2^{2023}$
B
$\displaystyle u_{2023}=2^{2022}$
C
$\displaystyle u_{2023}=4.044$
D
$\displaystyle u_{2023}=4.046$

Câu 6

Cho bảng phân bố tần số sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Giá trị} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 & x_7 & x_8 \\ \hline \text{Tần số} & 10 & n^2+7 & 12 & 9n-1 & 15 & 9 & 9n-11 & 17 \\ \hline \end{array}

Tìm tất cả giá trị của $n$ để $M_O^{(1)} = x_2; M_O^{(2)} = x_4$ là hai mốt của mẫu số liệu trên.

A
$\displaystyle n=8$
B
$\displaystyle n=1; n=8$
C
$\displaystyle n=9$
D
$\displaystyle n=3; n=6$

Câu 7

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $(3^{x+2}-\sqrt{3})(3^x-2m) < 0$ chứa không quá 10 số nguyên?

A
$\displaystyle 3.281$
B
$\displaystyle 9.841$
C
$\displaystyle 9.842$
D
$\displaystyle 3.280$

Câu 8

Điều kiện xác định của hàm số $y = \frac{\tan x}{\cos x -1}$ là:

A
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \\ x \neq \frac{\pi}{3}+k\pi \end{array} \right.$
B
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \\ x \neq k2\pi \end{array} \right.$
C
$\displaystyle x \neq k2\pi$
D
$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{3}+k2\pi$

Câu 9

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là

A
$\displaystyle V=\frac{3}{2}Sh$
B
$\displaystyle V=Sh$
C
$\displaystyle V=\frac{1}{3}Sh$
D
$\displaystyle V=\frac{4}{3}Sh$

Câu 10

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên R thỏa mãn $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3}=2$ . Kết quả đúng là

A
$\displaystyle f'(2)=3$
B
$\displaystyle f'(3)=2$
C
$\displaystyle f'(x)=3$
D
$\displaystyle f'(x)=2$

Câu 11

Tìm $n$ biết rằng hệ số của $x^4$ trong khai triển $(x^3+2x^2+3x)(x+1)^n$ bằng $804$ .

A
$\displaystyle n=8$
B
$\displaystyle n=14$
C
$\displaystyle n=12$
D
$\displaystyle n=10$

Câu 12

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in (0;10)$ để hàm số $y=\log_{2024}(x^2-5x+m)$ xác định trên R

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 7$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 6$

Câu 13

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hình vuông $ABCD$ có đỉnh $A(1;5)$ và phương trình đường thẳng $BD$ là $x-3y+4=0$ . Tìm tọa độ đỉnh $B$ biết $B$ có hoành độ dương.

A
$\displaystyle (2;2)$
B
$\displaystyle (5;3)$
C
$\displaystyle (3;-1)$
D
$\displaystyle (8;4)$

Câu 14

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho hai điểm $A(3;-1)$ và $B(-2;1)$ . Viết phương trình đường thẳng $AB$ .

A
$\displaystyle 5x-2y+11=0$
B
$\displaystyle 2x-5y+11=0$
C
$\displaystyle 2x+5y-1=0$
D
$\displaystyle 5x+2y+1=0$

Câu 15

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ , tam giác $SAC$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABCD)$ . Tính theo $a$ thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$

A
$\displaystyle V=\dfrac{\sqrt{6}a^3}{4}$
B
$\displaystyle V=\dfrac{\sqrt{6}a^3}{3}$
C
$\displaystyle V=\dfrac{\sqrt{2}a^3}{6}$
D
$\displaystyle V=\dfrac{\sqrt{6}a^3}{12}$

Câu 16

Cho đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c$ , $(a\neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c$ là parabol hướng xuống

A
$a<0$ , $b<0$ , $c<0$
B
$a>0$ , $b>0$ , $c<0$
C
$a<0$ , $b>0$ , $c<0$
D
$a<0$ , $b>0$ , $c>0$

Câu 17

Tìm $m$ để hàm số $f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-16}{x-4} & \text{khi } x>4 \\ mx+1 & \text{khi } x\le 4 \end{cases}$

liên tục tại điểm $x=4$ .

A
$\displaystyle m=8$
B
$\displaystyle m=\dfrac{7}{4}$
C
$\displaystyle m=-8$
D
$\displaystyle m=-\dfrac{7}{4}$

Câu 18

Đặt $a=\log_2 3$ ; $b=\log_5 3$ . Nếu biểu diễn $\log_3 10=\dfrac{am+bn}{ab}$ thì $m+n$ bằng

A
$\displaystyle -3$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 6$
D
$\displaystyle 2$

Câu 19

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , tâm $O$ . Cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ . Gọi $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $CD$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $HK$ và $SD$ .

A
$\displaystyle 2a$
B
$\displaystyle a$
C
$\displaystyle \dfrac{2a}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{a}{3}$

Câu 20

Tập xác định của hàm số $y=[\ln(x-2)]^{\pi}$ là

A
$\displaystyle (3;+\infty)$
B
$\displaystyle (0;+\infty)$
C
$\displaystyle \mathbb{R}$
D
$\displaystyle (2;+\infty)$

Câu 21

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ . Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của $AM$ , trong đó $M$ là trung điểm của $BC$ . Mặt phẳng $(SBC)$ hợp với mặt phẳng $(ABC)$ góc $45^{\circ}$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ .

A
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{6}}{8}$
C
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
D
$\displaystyle \dfrac{a\sqrt{6}}{4}$

Câu 22

Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện có cả nam và nữ?

A
$\displaystyle 40$
B
$\displaystyle 1560$
C
$\displaystyle 780$
D
$\displaystyle 391$

Câu 23

Cho các hàm số $y = \log_a x$ và $y = \log_b x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng $x = 5$ cắt trục hoành, đồ thị hàm số $y = \log_a x$ và $y = \log_b x$ lần lượt tại $A, B$ và $C$ . Biết rằng $CB = 2AB$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Đồ thị hàm số $y = \log_a x$ và $y = \log_b x$ cắt bởi đường thẳng $x = 5$ tại các điểm $A, B, C$

A
$\displaystyle a = 5b$
B
$\displaystyle a = b^3$
C
$\displaystyle a^3 = b$
D
$\displaystyle a = b^2$

Câu 24

Cho lăng trụ đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Tính cosin góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(A'BC)$

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{7}}{7}$
C
$\displaystyle \dfrac{2\sqrt{7}}{7}$
D
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{21}}{7}$

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai5,0 điểm

Câu 1

Cho các hàm số $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$ và $g(x) = x^2 - m$

a)
Ta có $f(3) + g(3) = 9$
b)
Cả hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ đã cho đều là các hàm số liên tục trên khoảng $(0; +\infty)$
c)
Tính giới hạn $\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) - x \right] = -1$
d)
Với $m = 1$ , giới hạn $\lim_{x \to -1} \dfrac{f^2(x)}{g(x)} = 2$

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với đáy, $SA = a\sqrt{2}$ . Một mặt phẳng đi qua $A$ vuông góc với $SC$ cắt $SB$ , $SD$ , $SC$ lần lượt tại $B'$ , $D'$ , $C'$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
Tam giác $SAC$ cân tại $S$
b)
$AD' \perp (SDC)$
c)
$\dfrac{SB'}{SB} + \dfrac{SC'}{SC} + \dfrac{SD'}{SD} = \dfrac{4}{3}$
d)
Góc giữa mặt phẳng $(AB'D')$ và đường thẳng $SB$ bằng $60^{\circ}$

Câu 3

Cho hai đường thẳng $d_1, d_2$ song song với nhau. Trên $d_1$ lấy 7 điểm phân biệt $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ sao cho $A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7 = 1\text{ cm}$ , trên $d_2$ lấy 6 điểm $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ sao cho $B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5 = B_5B_6 = 1\text{ cm}$ . Chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ các điểm trên. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)
Số phần tử không gian mẫu bằng $C_{13}^3$
b)
Xác suất để ba điểm được chọn tạo thành tam giác là $\dfrac{49}{286}$
c)
Xác suất để 3 điểm được chọn có 1 điểm là trung điểm của đoạn thẳng có 2 đầu mút là hai điểm còn lại bằng $\dfrac{15}{286}$
d)
Biết khoảng cách giữa $d_1, d_2$ bằng $2\text{ cm}$ . Khi đó xác suất để chọn được 3 điểm tạo thành tam giác có diện tích bằng $1\text{ cm}^2$ bằng $\dfrac{71}{286}$ .

Câu 4

Cho phương trình $mx^2 - (4m+1)x + 4m + 2 = 0 (1)$ với $m$ là tham số. Khi đó:

a)
Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $-\frac{1}{4} < m < 0$
b)
Không tồn tại giá trị $m$ để phương trình (1) có 2 nghiệm âm
c)
Số giá trị nguyên của $m$ để bất phương trình $mx^2 - (4m+1)x + 4m + 2 > x^2 - (3m+2)x$ nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ là 1
d)
Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi số thực $m$

Câu 5

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x-1)(x-2)$ trên $\mathbb{R}$ . Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a)
$f'(-1) < 0$
b)
Có 19 giá trị nguyên của $x \in (-20;20)$ để $f'(x) > 0$
c)
Có 20 giá trị nguyên của $x \in [-20;20]$ để đạo hàm của hàm số $g(x) = f(3-2x)$ nhận giá trị không âm
d)
Đạo hàm của hàm số $h(x) = f(x^3 + m)$ nhận giá trị không âm trên $(1;+\infty) \Leftrightarrow m \in (1;+\infty)$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn3,0 điểm

Câu 1

Cho biểu thức: $f(x) = \dfrac{9^x - 2}{9^x + 3}$ . Đặt $S = f\left(\dfrac{1}{2024}\right) + f\left(\dfrac{2}{2024}\right) + f\left(\dfrac{3}{2024}\right) + \ldots + f\left(\dfrac{2023}{2024}\right) = \dfrac{m}{n}$ là phân số tối giản với $m, n$ nguyên dương. Tổng $m + n$ bằng?

Trả lời:

Câu 2

Trong dịp hội trại hè 2023, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao $6 (\text{m})$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) là bao nhiêu mét?

Trả lời:

Câu 3

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , cạnh $BC = 2\sqrt{7}$ và $\widehat{ABC} = 60^{\circ}$ . Biết tứ giác $BCC'B'$ là hình thoi có $\widehat{B'BC}$ là góc nhọn, mặt phẳng $(BCC'B')$ vuông góc với $(ABC)$ , góc giữa hai mặt phẳng $(ABB'A')$ và $(ABC)$ bằng $45^{\circ}$ . Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là?

Trả lời:

Câu 4

Hai bạn An và Bình thi đấu với nhau 1 trận bóng bàn gồm 5 séc, người nào thắng trước 3 séc sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất để An thắng mỗi séc là $0,4$ . Tính xác suất để An thắng chung cuộc. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trả lời:

Câu 5

Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ , $ABD$ , $ACD$ là các tam giác vuông tương ứng tại $A, B, C$ . Góc giữa $AD$ và $(ABC)$ bằng $45^{\circ}$ , $AD \perp BC$ và khoảng cách giữa $AD$ và $BC$ bằng $\sqrt{2}$ . Thể tích khối tứ diện $ABCD$ là (lấy gần đúng sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân)

Trả lời:

Câu 6

Tính tổng tất cả các nghiệm trên đoạn $[-\pi;0]$ của phương trình $\dfrac{\cos 2x + \sqrt{3}\sin 2x + 2}{1 - 2\cos x} = 1$ . (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trả lời:

HẾT