Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2024–2025 — Trường THPT Thuận Thành số 1, Bắc NinhMã đề 101

Thời gian: 90 phút
Số câu: 41 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 35 câu

Phần II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn — 6 câu

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1

Với các số thực dương $x$ , $y$ tùy ý, đặt $\log_3 x = a$ , $\log_3 y = b$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A
$\displaystyle \log_{27}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)^3 = 9\left(\frac{a}{2} - b\right)$
B
$\displaystyle \log_{27}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)^3 = \frac{a}{2} - b$
C
$\displaystyle \log_{27}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)^3 = 9\left(\frac{a}{2} + b\right)$
D
$\displaystyle \log_{27}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)^3 = \frac{a}{2} + b$

Câu 2

Giá trị của $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2 - 5x + 6}{\sqrt{4x + 1} - 3}$ bằng

A
$\displaystyle -\frac{2}{3}$
B
$\displaystyle \frac{1}{2}$
C
$\displaystyle -\frac{3}{2}$
D
$\displaystyle \frac{3}{2}$

Câu 3

Số nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ của phương trình $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \sin 5x = 0$ là

A
$\displaystyle 6$
B
$\displaystyle 7$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 5$

Câu 4

Doanh thu bán hàng trong 30 ngày của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Doanh thu} & [5;7) & [7;9) & [9;11) & [11;13) & [13;15) \\ \hline \text{Số ngày} & 4 & 10 & 12 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là

A
$\displaystyle [7;9)$
B
$\displaystyle [5;7)$
C
$\displaystyle [9;11)$
D
$\displaystyle [11;13)$

Câu 5

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ , $SB$ , $SC$ đôi một vuông góc và $SA = SB = SC$ . Điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ . Góc giữa hai đường thẳng $SM$ và $BC$ bằng

A
$\displaystyle 30^{\circ}$
B
$\displaystyle 60^{\circ}$
C
$\displaystyle 120^{\circ}$
D
$\displaystyle 90^{\circ}$

Câu 6

Cho $a = \log_2 5, b = \log_5 3, \log_{30} 150 = \frac{xab + ya + zb + 1}{mab + na + pb + q} (x, y, z, m, n, p, q \in \mathbb{Z})$ . Tổng $S = x + y + z + m + n + p + q$ bằng

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle 4$

Câu 7

Gọi $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$ . Gọi $A'$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ . Tỉ số $\dfrac{GA}{GA'}$ bằng

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$
D
$\displaystyle 2$

Câu 8

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{mx^2 - (m-2)x - 2}{\sqrt{x+3} - 2}, \text{khi } x \neq 1 \\ 8 + m^2, \text{khi } x = 1 \end{cases}$ . Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục tại $x = 1$ là

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 0$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 3$

Câu 9

Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $2a$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AC, BC$ và $P$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Mặt phẳng $(MNP)$ cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là

A
$\displaystyle \dfrac{a^2\sqrt{11}}{2}$
B
$\displaystyle \dfrac{a^2\sqrt{11}}{4}$
C
$\displaystyle \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
D
$\displaystyle \dfrac{a^2\sqrt{2}}{4}$

Câu 10

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2\cos^2 3x + (3 - 2m)\cos 3x + m - 2 = 0$ có đúng $3$ nghiệm thuộc khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{6}; \dfrac{\pi}{3}\right)$ .

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 3$

Câu 11

Biết rằng trong khai triển nhị thức Newton $(ax + 1)^n$ có mặt hai số hạng $24x$ và $252x^2$ . Giá trị của $a + n$ bằng

A
$\displaystyle 9$
B
$\displaystyle 15$
C
$\displaystyle 13$
D
$\displaystyle 11$

Câu 12

Một tổ có $10$ học sinh trong đó có $3$ bạn gồm An, Bình và Cúc. Số cách xếp $10$ học sinh đó vào một ghế dài có $10$ chỗ trống sao cho An và Bình luôn ngồi cạnh nhau nhưng An và Cúc không ngồi cạnh nhau là

A
$\displaystyle 64.520$
B
$\displaystyle 45.120$
C
$\displaystyle 645.120$
D
$\displaystyle 70.560$

Câu 13

Cho hình chóp $S.ABC$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, BC$ và $P$ là điểm nằm trên cạnh $AB$ sao cho $AP = \dfrac{1}{3}AB$ . Gọi $Q$ là giao điểm của $SC$ và $(MNP)$ . Tỉ số $\dfrac{SQ}{SC}$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{SQ}{SC} = \dfrac{3}{8}$
B
$\displaystyle \dfrac{SQ}{SC} = \dfrac{1}{3}$
C
$\displaystyle \dfrac{SQ}{SC} = \dfrac{2}{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{SQ}{SC} = \dfrac{2}{5}$

Câu 14

Aladin nhặt được cây bút thần. Bút thần cho chàng $3$ điều ước $2$ điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ $3$ của chàng là: “Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được bút thần và bút thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước của ngày hôm nay”. Bút thần chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn chừa lại điều cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với bút thần cho ngày hôm sau (biết rằng mỗi ngày sau Aladin thực hiện xong các điều ước thì bút thần sẽ biến mất và trừ điều ước cuối cùng thì các điều ước còn lại của Aladin mỗi ngày là khác nhau). Sau $5$ ngày gặp bút thần, tổng số điều ước khác nhau của Aladin là

A
$\displaystyle 88$
B
$\displaystyle 15$
C
$\displaystyle 93$
D
$\displaystyle 89$

Câu 15

Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $\lim_{x \to -1} \frac{ax^2+4x+b}{x^3-3x-2}=c$ . Giá trị $S=a+b+3c$ bằng

A
$\displaystyle 3$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 2$

Câu 16

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=6$ và số hạng tổng quát $u_n=9-3n$ . Tổng $100$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó bằng

A
$\displaystyle 14$
B
$\displaystyle -14.250$
C
$\displaystyle 13$
D
$\displaystyle 14.250$

Câu 17

Cho khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với $(ABCD)//(EFMH)$ , $CK//DH$ . Khối gỗ bị hỏng một góc. Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $K$ và song song với $(ABCD)$ . Gọi $I,J$ lần lượt là giao điểm của $DH,BF$ với mặt phẳng $(\alpha)$ . Biết $BF=50cm, DH=70cm, CK=45cm$ . Độ dài đoạn $FJ$ gần nhất với giá trị nào sau đây?

Hình vẽ khối gỗ với các đỉnh A, B, C, D, E, F, H, M, K và các mặt phẳng $(ABCD)$, $(EFMH)$

A
$\displaystyle 20cm$
B
$\displaystyle 28cm$
C
$\displaystyle 18cm$
D
$\displaystyle 25cm$

Câu 18

Cho một hình tròn tâm $O$ bán kính là $R_1=60m$ . Dựng tam giác đều $A_1B_1C_1$ nội tiếp đường tròn, sau đó lấy đường tròn nội tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ . Cứ tiếp tục làm quá trình như trên. Diện tích của tam giác $A_9B_9C_9$ gần nhất với giá trị nào sau đây

Hình vẽ các đường tròn đồng tâm $O$ và các tam giác đều $A_1B_1C_1$, $A_2B_2C_2$ lồng nhau

A
$\displaystyle 0,071m^2$
B
$\displaystyle 0,285m^2$
C
$\displaystyle 145,92m^2$
D
$\displaystyle 1,14m^2$

Câu 19

Ba cầu thủ sút phạt đền $11m$ , mỗi người đá đúng một lần với xác suất làm bàn tương ứng là $x$ , $y$ và $0,6$ . Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là $0,976$ và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là $0,336$ . Xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn là

A
$\displaystyle 0,4245$
B
$\displaystyle 0,435$
C
$\displaystyle 0,452$
D
$\displaystyle 0,4525$

Câu 20

Một chất điểm dao động điều hòa xung quanh điểm $O$ theo phương nằm ngang. Biết rằng vị trí của chất điểm đó so với $O$ tại thời điểm $t$ được xác định theo phương trình $x=3\cos\left(\frac{2t}{3}+\frac{\pi}{3}\right)(m)$ . Trong $5$ giây đầu $(0 \le t \le 5)$ , thời điểm nào thì chất điểm nằm xa $O$ nhất?

A
$\displaystyle \pi$
B
$\displaystyle 2$
C
$\displaystyle 1$
D
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

Câu 21

Một bàn dài có $2$ dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có $6$ ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho $7$ học sinh trường $A$ và $7$ học sinh trường $B$ vào bàn nói trên. Số cách xếp sao cho bất kì $2$ học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau là

A
$\displaystyle 25.401.600$
B
$\displaystyle 5.400$
C
$\displaystyle 14!$
D
$\displaystyle 50.803.200$

Câu 22

Cho $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{x+6}-2}{x^2-4}=\frac{m}{n}$ (với $m, n \in \mathbb{N}^*$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị của biểu thức $P=5m+n^2$ bằng

A
$\displaystyle 2.379$
B
$\displaystyle 2.310$
C
$\displaystyle 2.309$
D
$\displaystyle 2.308$

Câu 23

Cho biểu thức $\sqrt[5]{8\sqrt{2\sqrt[3]{2}}}=2^{\frac{m}{n}}$ , trong đó $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Gọi $P=m+n$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle P \in (10;20)$
B
$\displaystyle P \in (30;40)$
C
$\displaystyle P \in (20;30)$
D
$\displaystyle P \in (40;50)$

Câu 24

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=2a$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ . Độ dài đoạn thẳng $MN$ để góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $MN$ bằng $30^{\circ}$ là

A
$\displaystyle MN=a$
B
$\displaystyle MN=a\sqrt{3}$
C
$\displaystyle MN=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
D
$\displaystyle MN=\frac{a}{2}$

Câu 25

Cho dãy số $(u_n)$ biết rằng $u_1=1; u_{2n+1}=u_{2n}+1; u_{2n}=u_{2n-1}+3$ . Số hạng thứ $2025$ của dãy có $2$ chữ số tận cùng là

A
$\displaystyle 49$
B
$\displaystyle 40$
C
$\displaystyle 47$
D
$\displaystyle 44$

Câu 26

Cho khối chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ , tam giác $ABC$ vuông tại $B$ , $AC=2a$ , $BC=a$ , $SB=2a\sqrt{3}$ . Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng

A
$\displaystyle 60^{\circ}$
B
$\displaystyle 90^{\circ}$
C
$\displaystyle 45^{\circ}$
D
$\displaystyle 30^{\circ}$

Câu 27

Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin $M$ phụ thuộc vào góc lượng giác $\alpha=(Ox,OM)$ theo hàm số $v_x=0,3\sin \alpha (m/s)$ (xem hình vẽ). Dựa vào đồ thị hàm số $\sin$ , biết trong vòng quay đầu tiên $(0 \le \alpha \le 2\pi)$ góc $\alpha$ thuộc các khoảng $(a,b)$ và $(c,d)$ thì $v_x$ tăng. Giá trị $a+b+c+d$ có giá trị bằng

hình vẽ đu quay với cabin M và góc lượng giác alpha

A
$\displaystyle \frac{5\pi}{2}$
B
$\displaystyle \frac{7\pi}{2}$
C
$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$
D
$\displaystyle 4\pi$

Câu 28

Cho $a,b$ là các số thực dương và $a$ khác $1$ , thỏa mãn $\log_{a^3} \frac{a^5}{\sqrt[4]{b}} =2$ . Giá trị của biểu thức $\log_a b$ bằng

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle -4$

Câu 29

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa $24$ gam hương liệu, $9$ lít nước và $210$ gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế $1$ lít nước ngọt loại I cần $10$ gam đường, $1$ lít nước và $4$ gam hương liệu. Để pha chế $1$ lít nước ngọt loại II cần $30$ gam đường, $1$ lít nước và $1$ gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại I được $80$ điểm thưởng, mỗi lít nước ngọt loại II được $60$ điểm thưởng. Số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội trong cuộc thi là

A
720
B
540
C
600
D
640

Câu 30

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\tan \alpha = -\frac{4}{3}$ và $\frac{2023\pi}{2} < \alpha < \frac{2025\pi}{2}$ . Giá trị của $\sin \alpha$ bằng

A
$\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5}$
B
$\displaystyle \sin \alpha = -\frac{4}{5}$
C
$\displaystyle \sin \alpha = -\frac{3}{5}$
D
$\displaystyle \sin \alpha = \frac{4}{5}$

Câu 31

Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn $a \neq 1$ , $a \neq \sqrt{b}$ và $\log_{a} b = \sqrt{5}$ . Giá trị của $P = \log_{\frac{\sqrt{b}}{a}}\sqrt{\frac{b}{a}}$ là

A
$\displaystyle P = 3 + \sqrt{5}$
B
$\displaystyle P = -5 + 3\sqrt{5}$
C
$\displaystyle P = -3 + \sqrt{5}$
D
$\displaystyle P = -5 - 3\sqrt{5}$

Câu 32

Giá trị của $\lim \frac{\sqrt{n^2 + 2n} - n}{2n + 1}$ bằng

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle 0$

Câu 33

Phần thi trắc nghiệm dạng đúng sai gồm 4 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 04 ý, tại mỗi ý học sinh lựa chọn đúng hoặc sai. Cách tính điểm như sau:

Học sinh chỉ làm đúng 1 ý được 0,1 điểm.
Học sinh chỉ làm đúng 2 ý được 0,25 điểm.
Học sinh làm đúng 3 ý được 0,5 điểm.
Học sinh làm đúng cả 4 ý được 1,0 điểm.

Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên tất cả các ý trả lời. Xác suất để học sinh đó được ít nhất 3,5 điểm là

A
$\displaystyle 15\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{16}$
B
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{16}$
C
$\displaystyle 4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{4}$
D
$\displaystyle 17\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{16}$

Câu 34

Chọn ngẫu nhiên 3 số tự nhiên từ tập hợp $S = \{9;10;11;...;24\}$ . Xác suất để tổng bình phương của 3 số được chọn chia hết cho 4 là

A
$\displaystyle \frac{7}{10}$
B
$\displaystyle \frac{3}{5}$
C
$\displaystyle \frac{1}{10}$
D
$\displaystyle \frac{2}{5}$

Câu 35

Lớp $10A$ có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Toán, 20 em thích môn Anh, 18 em thích môn Văn, 6 em không thích ba môn trên và 5 em thích cả ba môn. Khi đó số em thích chỉ một trong ba môn trên là

A
$\displaystyle 20$
B
$\displaystyle 39$
C
$\displaystyle 45$
D
$\displaystyle 34$

Phần II. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1

Một hộp đựng 8 thẻ được đánh số từ 2 đến 9. Bạn Linh lấy ngẫu nhiên một thẻ, ghi lại số trên thẻ rồi bỏ thẻ vào hộp. Lần thứ hai, bạn Linh cũng lấy ngẫu nhiên một thẻ, ghi lại số trên thẻ rồi bỏ thẻ vào hộp. Tiếp tục như vậy, sau năm lần bạn Linh đã ghi lại được 5 chữ số. Xác suất để trong 5 số ghi được có đúng 2 chữ số chia hết cho 4 là $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $5a - 2b$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 2

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $3$ và một điểm $M$ di động trên cạnh $AB$ sao cho $AM = x$ . Dựng các tam giác đều $AMN$ và $MBP$ nằm bên trong hình vuông $ABCD$ . Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $x$ sao cho tổng diện tích của hai tam giác đều bé hơn một phần tư diện tích hình vuông $ABCD$ . Khi đó tổng giá trị các phần tử của $S$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 3

Gia đình bác Bình muốn làm mái tôn cho sân thượng là hình chữ nhật $ABB'A'$ với kích thước chiều dài $AA' = 9m$ và chiều rộng $AB = 6m$ . Bác dự định làm mái tôn (kín) có thanh ngang $CC' = 7m$ nằm chính giữa mái, song song và cách mặt sân sân thượng $1,4m$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng chi phí làm mái tôn trọn gói cho $1m^2$ là $290.000$ đ. Tính số tiền bác Bình phải chi trả? (làm tròn kết quả đến hàng triệu).

hình vẽ mái tôn ABB'A' với thanh ngang CC'

Trả lời:

Câu 4

Nhiệt độ ngoài trời $T$ (tính bằng $^{\circ}C$ ) vào thời điểm $t$ giờ trong một ngày ở một thành phố được tính bởi công thức $T = 20 + 4\sin\left(\frac{\pi}{12}t - \frac{5\pi}{6}\right)$ . Để bảo quản các tác phẩm nghệ thuật, hệ thống điều hòa nhiệt độ của một bảo tàng sẽ được tự động bật khi nhiệt độ ngoài trời từ $22^{\circ}C$ trở lên. Dựa vào đồ thị của hàm số $\sin$ , ta xác định khoảng thời gian $t = [a; b]$ trong ngày $(0 \leq t \leq 24)$ hệ thống điều hòa được bật. Tính $T = a^2 + b^2$ .

Trả lời:

Câu 5

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $BC = 2a$ , đáy bé $AD = a$ , $AB = b$ . Mặt bên $SAD$ là tam giác đều. $M$ là một điểm di động trên đoạn $AB$ sao cho $AM = x$ $(0 < x < b)$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với $SA, BC$ . Tìm $k$ biết $b = kx$ để diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi $(P)$ lớn nhất.

Trả lời:

Câu 6

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA \perp (ABCD)$ , $SA = a$ và $M$ là trung điểm cạnh $SD$ . Tính côsin góc giữa đường thẳng $AC$ và đường thẳng $BM$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trả lời:

HẾT