Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Hà Nam

Câu I

4,0 điểm

1)
Một chiếc cầu bắc qua sông, mặt dưới gầm cầu có dạng cung $AB$ của đồ thị hàm số $y = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}\cos \dfrac{x}{12} + 2$ với $x \in [-6\pi; 6\pi]$ được mô tả trong hệ trục tọa độ $Oxy$ với đơn vị trục là mét (trục $Ox$ mô tả mặt nước sông) như hình minh họa dưới đây
Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 6 mét so với mặt nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 12,6 mét.
2)
Cho phương trình $\sin 3x + \cos 2x - m\sin x = 1$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}; 2\pi\right)$ .

Câu II

4,0 điểm

1)
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 22,5 mét. Giả sử sau mỗi lần chạm đất quả bóng cao su lại nảy lên độ cao bằng 80% độ cao của lần rơi trước. Tính chiều dài quãng đường quả bóng cao su di chuyển từ khi được thả đến khi không nảy nữa.
2)
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases} u_1 = 2025 \\ n(u_{n+1} - u_n) = 2(u_n + 3), n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$ .

Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ và tính $\lim \dfrac{u_n}{n^2}$ .

Câu III

2,0 điểm

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) + 1}{x - 1} = 16$ . Tính $\lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2 + x)f(x) + 2}{x - 1}$ .

Câu IV

2,0 điểm

Ba cầu thủ đá phạt đền 11m, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là $x$ , $y$ và $0,6$ (với $x > y$ ). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là $0,976$ và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là $0,336$ . Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.

Câu V

6,0 điểm

1)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ không đi qua $S$ cắt các cạnh $SA, SB, SC, SD$ lần lượt tại $M, N, P, Q$ sao cho $SA = 2SM$ và $SC = 3SP$ . Tính $\dfrac{SB}{SN} + \dfrac{SD}{SQ}$ .
2)
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ , điểm $M$ nằm trên cạnh $AC$ sao cho $AM = kMC$ . Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ song song với hai đường thẳng $AB'$ và $A'C$ . Gọi $N$ là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $BC$ . Tìm $k$ để $\dfrac{NB}{NC} = \dfrac{5}{3}$ .
3)
Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$T = \frac{MA^{2}}{OA^{2}} + \frac{MB^{2}}{OB^{2}} + \frac{MC^{2}}{OC^{2}}.$

Câu VI

2,0 điểm

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{3a} + \dfrac{1}{2b} + \dfrac{1}{c} = 6$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = \sqrt{\frac{a}{a + 4bc}} + \sqrt{\frac{b}{b + 9ca}} + \sqrt{\frac{c}{c + 36ab}}.