Đề thi Olympic Toán 11 năm 2024 — Cụm trường THPT Hà Đông — Hoài Đức, Hà Nội

Câu I

4,0 điểm

1)
Tìm số nghiệm của phương trình $\sin\left(2x+\dfrac{5\pi}{2}\right)-3\cos\left(x-\dfrac{7\pi}{2}\right)=1+2\sin x$ trên khoảng $(0,3\pi)$ .
2)
Cho tam giác $ABC$ . Chứng minh $\dfrac{\cos A+\cos B+\cos C-1}{\sin A+\sin B-\sin C}=\tan\dfrac{C}{2}$ .

4,0 điểm

1)
Cứ vào đầu mỗi tháng, ông A đến gửi tiết kiệm ngân hàng số tiền 10 triệu đồng với lãi suất là $0,5\%$ / tháng theo hình thức lãi kép. Hỏi sau đúng 5 năm thì ông A nhận được số tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu, biết rằng trong suốt quá trình gửi, ông A không rút tiền ra và lãi suất của ngân hàng không thay đổi.
2)
Cho hai số thực $a$ , $b$ đều lớn hơn $1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\dfrac{1}{\log_{ab} a}+\dfrac{1}{\log_{\sqrt{ab}} b}$ .

4,0 điểm

1)
Tìm các giới hạn sau
1. a)
  $A=\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt[3]{2x-1}-1}{1-\sqrt{2-x^{2}}}$ .
2. b)
  $B=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+x)(1+2x)(1+3x)\dots(1+10x)-1}{x}$ .
2)
Cho dãy số $(u_{n})$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}=1$ , công bội $q=2$ . Chứng minh

$\dfrac{1}{u_{3}-u_{1}}+\dfrac{1}{u_{4}-u_{2}}+\dfrac{1}{u_{5}-u_{3}}+\dots+\dfrac{1}{u_{2024}-u_{2022}}<\dfrac{2}{3}.$

6,0 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , $AB=BC=a$ , $AD=2a$ . Biết $SA$ vuông góc với đáy $(ABCD)$ và $SA=a$ .

1)
Tính $\sin$ của góc giữa đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(SAC)$ .
2)
Gọi $M$ là một điểm thay đổi trên cạnh $CD$ , ( $M$ khác $C$ và $D$ ). Mặt phẳng qua $M$ và song song với mặt phẳng $(SBC)$ cắt các cạnh $AB$ , $SA$ , $SD$ lần lượt tại $N$ , $P$ và $Q$ . Chứng minh tứ giác $MNPQ$ là hình thang vuông.
3)
Khi $M$ thay đổi, tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác $MNPQ$ .

2,0 điểm

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\begin{cases} u_{1}=1 \\ u_{n+1}=4u_{n}+3\cdot 4^{n}+6, n\in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$

. Tìm số hạng tổng quát $u_{n}$ và tính giới hạn $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_{n}}{n\cdot 4^{n}}$ .