Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 11 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Giải phương trình $\sin 2x + 4\sin x + \sin\left(x + \dfrac{2023\pi}{2}\right) = 2$.

Trong chiến dịch Điện Biên Phủ năm 1954, xe đạp thồ là phương tiện vận chuyển góp phần không nhỏ cho thắng lợi của chiến dịch.

Xe đạp thồ của một anh dân công hoả tuyến sau khi gia cố thì đường kính của bánh xe bằng 70 cm. Trên một đoạn đường, anh để ý rằng có một vết phồng ở bánh xe cứ sau 2 giây lại cọ xát vào khung xe. Tính vận tốc của xe trên quãng đường đó.

Cho các số thực $a, b, c$ đều lớn hơn 1 thỏa mãn $\log_{\sqrt{a}}^{2} b + \left(\log_{b} c - 1\right)\log_{b} \sqrt{c} + \log_{a} \dfrac{c^{3}}{b} = 0$.

Tính giá trị biểu thức $P = \dfrac{4}{\log_{b} a} + \log_{b} (bc)$.

Vay số tiền $P$ theo thể thức lãi kép theo định kì (lãi kì này tính vào gốc của kì sau) với lãi suất $r$ mỗi kì. Sau $n$ kì, số tiền $P_{n}$ phải trả (cả vốn lẫn lãi) bằng $P_{n} = P(1+r)^{n}$.

Một học sinh thấy tờ rơi quảng cáo cho vay không thế chấp của công ty T&T với lãi suất kép “cứ vay 1 triệu đồng thì tiền lãi chỉ ba ngàn đồng mỗi ngày” nên đã vay 1 triệu đồng. Sau 1 tuần, học sinh đó đến trả tiền nhưng thấy tiền lãi ít nên không trả mà vay thêm 10 triệu đồng để mua điện thoại đời mới. Sau 1 năm tính từ ngày vay thêm (bằng 365 ngày), học sinh này đến trả nợ thì mới phát hoảng vì số tiền quá lớn. Tính số tiền học sinh này phải trả lúc đó.

Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{2x-3} + \sqrt{6x-3} - 2x}{x\sqrt{x} - \sqrt{3x^{2} - 4}}$.

Một đề thi gồm 5 câu hỏi ở dạng thức trắc nghiệm dạng Đúng/Sai. Mỗi câu hỏi có 04 ý, tại mỗi ý học sinh lựa chọn đúng hoặc sai. Cách thức tính điểm như sau:

• Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 01 câu hỏi được 0,2 điểm.
• Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 01 câu hỏi được 0,5 điểm.
• Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 01 câu hỏi được 1 điểm.
• Học sinh chỉ lựa chọn chính xác 04 ý trong 01 câu hỏi được 2 điểm.

Một học sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên tất cả các ý trả lời. Tính xác suất để học sinh đó được ít nhất 9 điểm.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB = a$, $BC = a\sqrt{3}$, $\widehat{ABC} = \widehat{SAB} = \widehat{SCB} = 90^{\circ}$. Góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng $60^{\circ}$. Tính độ dài cạnh $SB$.

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và điểm $E$ thuộc đoạn $A'B$ sao cho $\dfrac{EA'}{EB} = \dfrac{3}{2}$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $E$ và song song với hai đường thẳng $B'C$, $C'A$. Mặt phẳng $(P)$ cắt đường thẳng $CC'$ tại điểm $F$. Tính tỉ số $\dfrac{FC'}{FC}$. Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ với các mặt của hình lăng trụ đã cho là hình gì?