Đề thi học sinh giỏi Toán 11 (chuyên) năm 2024 đợt 2 — Sở GD&ĐT Quảng Nam

Cho dãy số thực $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = \dfrac{1}{3}$; $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{2 + 3u_n^3}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Tìm tất cả các hàm số đa thức $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ và điểm $D$ nằm trên đường trung tuyến $AM$ kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác ($D$ khác $A$). Gọi $E$ là điểm trên đoạn $MC$ ($E$ khác $M, C$). Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên $AB$ và $AC$. Gọi $(C_1)$ và $(C_2)$ lần lượt là hai đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHE$ và $CKE$, $(C_1)$ cắt $(C_2)$ tại điểm thứ hai là $L$. Gọi $d$ là đường thẳng kẻ từ $B$ vuông góc với $BC$, $d$ cắt $(C_1)$ tại điểm thứ hai là $I$, $N$ là giao điểm thứ hai của $IL$ và $(C_2)$.

Cho đoạn thẳng $AB$ được chia thành bốn phần bằng nhau bởi ba điểm $M, N, P$ (hình vẽ). Ta đánh dấu 2024 điểm phân biệt trong đoạn $AB$ bằng cách chia đều trong mỗi đoạn $AM, MN, NP, PB$ có 506 điểm, thỏa mãn điều kiện với một điểm bất kỳ thuộc đoạn $AM$ thì tồn tại một điểm thuộc đoạn $MN$ đối xứng với nhau qua $M$; tương tự với một điểm bất kỳ thuộc đoạn $PB$ thì tồn tại một điểm thuộc đoạn $NP$ đối xứng với nhau qua $P$. Sau đó ta thực hiện tô màu đỏ cho 1012 điểm tùy ý và 1012 điểm còn lại màu đen. Chứng minh tổng các khoảng cách từ $A$ đến các điểm màu đỏ bằng tổng các khoảng cách từ $B$ đến các điểm màu đen.

Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $x \ge 0, y \le 0$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{x^2 + 2x + 2} + \dfrac{1}{y^2 - 2y + 2} + 3\sqrt{x^2 + y^2 - 2xy + 4x - 4y + 8}$.