Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2024 — Sở GD&ĐT Quảng Bình

Câu 1

2,5 điểm

Giải các phương trình sau:

a)
$5\sin x - 2 = 3(1 - \sin x).\tan^{2} x.$
b)
$\frac{1}{2}\log_{2}(x - 1)^{2} + \log_{2}(x + 1) = \log_{2}(5 - x).$

Câu 2

2,5 điểm

a)
Cho dãy số $(u_{n})$ thoả mãn $\begin{cases} u_{1} = 2024 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_{n}(u_{n}^{2} + 3)}{3u_{n}^{2} + 1}, \forall n \geq 1 \end{cases}$ . Chứng minh rằng dãy số $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b)
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a, b$ là hai số thực tùy ý mà $ab > 0$ . Chứng minh rằng tồn tại số thực $\alpha$ thỏa mãn $af(2023) + bf(2024) - (a + b)f(\alpha) = 0.$

Câu 3

1,5 điểm

Một mật khẩu thẻ của ngân hàng $X$ là một dãy gồm 6 chữ số.

a)
Có bao nhiêu mật khẩu thẻ của ngân hàng $X$ có 6 chữ số khác nhau trong đó có chữ số 6 và chữ số 8.
b)
Tính số mật khẩu thẻ của ngân hàng $X$ có tổng 6 chữ số bằng 16.

Câu 4

3,5 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $C'$ là trung điểm của $SC$ , $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ , điểm $N$ di động trên cạnh đáy $BC$ ( $N$ khác $B, C$ ).

a)
Gọi $G_{1}, G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta SBC$ . Chứng minh rằng $G_{1}G_{2}$ song song với mặt phẳng $(SAB)$ .
b)
Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $C'M$ cắt các cạnh $SB, SD$ lần lượt tại $B', D'$ . Xác định vị trí của điểm $M$ để $\dfrac{SB}{SB'} + \dfrac{SD}{SD'} = 2024.$
c)
Mặt phẳng $(\beta)$ đi qua $N$ đồng thời song song với hai đường thẳng $SB$ và $AC$ . Xác định đa giác tạo bởi giao tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ với các mặt của hình chóp $S.ABCD$ và tìm vị trí của điểm $N$ để đa giác đó có diện tích lớn nhất.