Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2023–2024 — Cụm Thạch Thất — Quốc Oai, Hà Nội

Câu 1

5,0 điểm

a)
Giải phương trình $2\cos^2 x - 3\sin x = 0$ .
b)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N, E$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AD, SD$ và $SC$ . Chứng minh rằng $(MNE) // (SAB)$ .

5,0 điểm

a)
Cho các số $5x - y, 2x - 3y, x + 2y$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng, các số $(y+1)^2, xy+1, (x-1)^2$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm $x, y$ .
b)
Gieo một con xúc sắc 4 lần. Tính xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần.

4,0 điểm

a)
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $\log_2^2(2x) + \log_2 x + m - 1 = 0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(0;1)$ .
b)
Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi
$\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 2024u_n}{2025}, n \in N^* \end{cases}$
Đặt $S_n = \dfrac{u_1}{u_2 - 1} + \dfrac{u_2}{u_3 - 1} + ... + \dfrac{u_n}{u_{n+1} - 1}, n \in N^*$ . Chứng minh rằng $S_n < 2025, \forall n \in N^*$ .

4,0 điểm

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ , $SA = SB = SC$ , đường cao $SO$ của hình chóp $S.ABC$ có độ dài bằng $2a$ .

a)
Chứng minh rằng $SA \perp BC$ .
b)
$M$ là điểm thuộc đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ ( $M$ khác $A$ và $H$ ). Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AH$ cắt hình chóp theo thiết diện. Tìm vị trí của $M$ để diện tích thiết diện lớn nhất.

2,0 điểm

Cho các số thực $a, b, c$ lớn hơn 1, thỏa mãn

\log_{(ab+bc+ca)}\left(5a^2 + 16b^2 + 27c^2\right) + \log_{144}\sqrt{ab+bc+ca} = 2

Tính giá trị của biểu thức $T = a - 2b + 3c$ .