Đề thi Olympic Toán 10 năm 2024 — Liên cụm trường THPT, Sở GD&ĐT Hà Nội

Chứng minh với mọi $m \neq 1$, đồ thị $(P)$ luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Gọi $A, B$ là hai giao điểm phân biệt của đồ thị $(P)$ với trục hoành, $C$ là giao điểm của đồ thị $(P)$ với trục tung và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Tìm tập hợp trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ khi $m$ thay đổi.

Giải phương trình $2x^2 - 11x + 23 = 4\sqrt{x+1}$.

Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích $5$ ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên $1$ ha cần dùng $3$ tấn phân vi sinh và thu được $50$ triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên $1$ ha cần dùng $5$ tấn phân vi sinh và thu được $75$ triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá $18$ tấn.

Từ tập $A$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số đôi một khác nhau?

Từ tập $A$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $8$ chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ số chẵn khác nhau, mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần?

Gọi $E$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AB = 3AE$. Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{CE}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Chứng minh $AO$ vuông góc với $CE$ khi và chỉ khi $AB^2 = 3AC^2$.

Với $AC = x$; $AB = y$ và $M$ là một điểm bất kì, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = -18MA^2 + x^2MB^2 + y^2MC^2$.

Tính độ dài $BC$, $AN$.

Viết phương trình tổng quát đường thẳng $AD$.