Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Câu 1

6,0 điểm

a)
Giải phương trình $2(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=10x^{2}+3x-6$ .
b)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P): y=x^{2}+mx+3m-2$ , đường thẳng $(d): y=x+m$ ( $m$ là tham số) và hai điểm $A(-1;-1)$ , $B(2;2)$ . Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $M, N$ sao cho $A, B, M, N$ là bốn đỉnh của một hình bình hành.

Câu 2

5,0 điểm

a)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ bất phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên:
$\begin{cases} x^{2}-10x+21 \ge 0 \\ x^{2}-(2m+1)x+4m-2 \le 0 \end{cases}$
b)
Gọi $E$ là tập các ước nguyên dương của số $129.600$ . Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử của tập $E$ . Tính số cách chọn để tích của chúng là một số chia hết cho $3$ .

Câu 3

5,0 điểm

a)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ . Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $G$ là trọng tâm $\Delta ABM$ . Điểm $D(7;-2)$ nằm trên đoạn $MC$ sao cho $GD=GA$ . Cho biết điểm $A$ có hoành độ nhỏ hơn $4$ và đường thẳng $AG$ có phương trình $3x-y-13=0$ . Tìm tọa độ điểm $A$ và viết phương trình đường thẳng $AB$ .
b)
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và có trực tâm $H$ nằm trên đường tròn nội tiếp của tam giác. Tính $\cos A$ .

Câu 4

2,0 điểm

Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=|x^{2}+4x+a|$ trên đoạn $[1;3]$ . Tìm tất cả các giá trị của $a$ để $M+2m=34$ .

Câu 5

2,0 điểm

Có bao nhiêu cách tô màu các cạnh của lục giác lồi $ABCDEF$ sao cho mỗi cạnh được tô bởi một trong sáu màu khác nhau và hai cạnh kề nhau (chung đỉnh) thì khác màu?