Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Giải phương trình $2(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=10x^{2}+3x-6$.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P): y=x^{2}+mx+3m-2$, đường thẳng $(d): y=x+m$ ($m$ là tham số) và hai điểm $A(-1;-1)$, $B(2;2)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $M, N$ sao cho $A, B, M, N$ là bốn đỉnh của một hình bình hành.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ bất phương trình sau có đúng 4 nghiệm nguyên:

Gọi $E$ là tập các ước nguyên dương của số $129.600$. Chọn ngẫu nhiên 2 phần tử của tập $E$. Tính số cách chọn để tích của chúng là một số chia hết cho $3$.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $G$ là trọng tâm $\Delta ABM$. Điểm $D(7;-2)$ nằm trên đoạn $MC$ sao cho $GD=GA$. Cho biết điểm $A$ có hoành độ nhỏ hơn $4$ và đường thẳng $AG$ có phương trình $3x-y-13=0$. Tìm tọa độ điểm $A$ và viết phương trình đường thẳng $AB$.

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và có trực tâm $H$ nằm trên đường tròn nội tiếp của tam giác. Tính $\cos A$.