Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2023–2024 — Cụm huyện Tân Yên, Sở GD&ĐT Bắc GiangMã đề 101

Thời gian: 120 phút
Số câu: 43 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn14,0 điểm

Câu 1

Cho $\sin x + \cos x = \dfrac{1}{5} (0^0 < x < 180^0)$ . Tính $P = |\sin x - \cos x|$ .

A
$\displaystyle P = \dfrac{5}{6}$
B
$\displaystyle P = \dfrac{3}{4}$
C
$\displaystyle P = \dfrac{4}{5}$
D
$\displaystyle P = \dfrac{7}{5}$

Câu 2

Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^2 - 2(m^2 + 2m + 3)x + m$ (với $m$ là tham số) trên đoạn $[-1;1]$ lần lượt là $y_1, y_2$ . Tính tích tất cả các giá trị thực của $m$ thỏa mãn $y_1 - y_2 = 24$

A
$\displaystyle -9$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle -3$
D
$\displaystyle 9$

Câu 3

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng 2. Điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $AM = \dfrac{AC}{4}$ . Gọi $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $DC$ . Tính $\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN}$ .

A
$\displaystyle \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN} = 4$
B
$\displaystyle \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN} = 0$
C
$\displaystyle \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN} = -4$
D
$\displaystyle \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MN} = 16$

Câu 4

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thỏa mãn $\left|3\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\right| = \left|\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA}\right|$ . Tập hợp $M$ là

A
Một đoạn thẳng
B
Một đường tròn
C
Nửa đường tròn
D
Một đường thẳng

Câu 5

Cho phương trình $4x - x^2 + 3 + 3\sqrt{4x - x^2} - 3m = 0$ (1), có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình (1) có nghiệm?

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 2$

Câu 6

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho ba điểm $A(1;-4)$ , $B(4;5)$ và $C(0;-9)$ . Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$ . Đặt $Q = 2\left|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\right| + 3\left|\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\right|$ . Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b$ là các số nguyên dương và $a,b < 20$ . Tính $a - b$ .

A
$\displaystyle -17$
B
$\displaystyle -15$
C
$\displaystyle -11$
D
$\displaystyle -14$

Câu 7

Đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A(-1;1)$ , $B(3;3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d: 3x - 4y + 8 = 0$ . Viết phương trình đường tròn $(C)$ , biết tâm của $(C)$ có hoành độ nhỏ hơn 5.

A
$\displaystyle x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 1 = 0$
B
$\displaystyle (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 5$
C
$\displaystyle (x + 5)^2 + (y + 2)^2 = 5$
D
$\displaystyle (x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 25$

Câu 8

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = 2a$ , $AD = 3a$ , $\widehat{BAD} = 60^0$ . Điểm $K$ thuộc $AD$ thỏa mãn $\overrightarrow{AK} = -2\overrightarrow{DK}$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow{BK}.\overrightarrow{AC}$

A
$\displaystyle 3a^2$
B
$\displaystyle 6a^2$
C
$\displaystyle a^2$
D
$\displaystyle 0$

Câu 9

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ , cho đường thẳng $d: x + y + 1 = 0$ và hai điểm $A(2;1), B(3;-1)$ . Gọi $M(a;b)$ là điểm thuộc $d$ sao cho $MA^2 + 2MB^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a - b$ bằng

A
$\displaystyle -2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 0$

Câu 10

Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 6x - 2y + 5 = 0$ và điểm $A(-4;2)$ . Đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M, N$ sao cho $A$ là trung điểm của $MN$ có phương trình là:

A
$\displaystyle 7x - y + 35 = 0$
B
$\displaystyle 7x - y + 30 = 0$
C
$\displaystyle 7x - 3y + 34 = 0$
D
$\displaystyle x - y + 6 = 0$

Câu 11

Cho biết $\cos \alpha = \dfrac{2}{3}, 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$ . Giá trị của $P = \dfrac{\cot \alpha + 4\tan \alpha}{3\cot \alpha + 2\tan \alpha}$ bằng

A
$\displaystyle P = \dfrac{13}{12}$
B
$\displaystyle P = \dfrac{12}{11}$
C
$\displaystyle P = 1$
D
$\displaystyle P = -\dfrac{15}{12}$

Câu 12

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-2022;2022]$ để nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x + (m+1)y + 1 \ge 0$ ?

A
$\displaystyle 2019$
B
$\displaystyle 2020$
C
$\displaystyle 2025$
D
$\displaystyle 2024$

Câu 13

Hai chiếc xe cùng xuất phát ở một vị trí, đi theo hai hướng tạo với nhau một góc $60^{\circ}$ . Xe thứ nhất chạy với tốc độ $30\text{km/h}$ , xe thứ hai chạy với tốc độ $40\text{km/h}$ . Hỏi sau $2\text{h}$ , khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu?

A
$\displaystyle 30\sqrt{10}\text{ km}$
B
$\displaystyle 20\sqrt{13}\text{ km}$
C
$\displaystyle 18\sqrt{13}\text{ km}$
D
$\displaystyle 25\sqrt{10}\text{ km}$

Câu 14

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ có $A(1;0)$ , $B(-1;1)$ và $C(5;-1)$ . Gọi $H(a;b)$ là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính $5a - 2b$ .

A
$\displaystyle 5a - 2b = 10$
B
$\displaystyle 5a - 2b = 16$
C
$\displaystyle 5a - 2b = 12$
D
$\displaystyle 5a - 2b = 14$

Câu 15

Biết rằng parabol $(P): y = ax^2 + bx + c$ có đỉnh $I(2;4)$ và đi qua điểm $A(0;6)$ . Tính tổng $S = 2a + b + c$

A
$\displaystyle S = \dfrac{9}{2}$
B
$\displaystyle S = 3$
C
$\displaystyle S = 9$
D
$\displaystyle S = 5$

Câu 16

Cho tam giác $ABC$ . Giá trị biểu thức $T = \dfrac{\sin^3 \dfrac{B}{2}}{\cos\left(\dfrac{A+C}{2}\right)} + \dfrac{\cos^3 \dfrac{B}{2}}{\sin\left(\dfrac{A+C}{2}\right)} - \dfrac{\cos(A+C)}{\sin B} \cdot \tan B$ bằng

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle -1$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle 2$

Câu 17

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho tam giác $ABC$ với $A(-4;-5)$ , $B(3;-2)$ , $C(-2;-2)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ trên cạnh $AB$ sao cho $S_{\Delta ACM} = 4S_{\Delta BCM}$

A
$\displaystyle M\left(-\dfrac{8}{5}; -\dfrac{13}{5}\right)$
B
$\displaystyle M\left(\dfrac{8}{5}; \dfrac{13}{5}\right)$
C
$\displaystyle M\left(\dfrac{8}{5}; -\dfrac{13}{5}\right)$
D
$\displaystyle M\left(-\dfrac{8}{5}; \dfrac{13}{5}\right)$

Câu 18

Một doanh nghiệp tư nhân $A$ chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon đa Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán ra với giá là 31 (triệu đồng). Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm là sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?

A
30 triệu đồng
B
30,5 triệu đồng
C
29,5 triệu đồng
D
29 triệu đồng

Câu 19

Cho tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ , cạnh $OA = a$ . Tính $\left|2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\right|$ .

A
$\displaystyle a\sqrt{5}$
B
$\displaystyle a$
C
$\displaystyle 2a\sqrt{2}$
D
$\displaystyle (1+\sqrt{2})a$

Câu 20

Cho tam giác $ABC$ với trực tâm $H$ . $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
$\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CH}$
B
$\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}$
C
$\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{HC}$ và $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD}$
D
$\overrightarrow{HA} = \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{HC}$

Câu 21

Khi bất phương trình $(m^2 - 4)x + m^2 - m - 4 > 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ , giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào sau đây?

A
$\displaystyle (-2;0)$
B
$\displaystyle (0;2)$
C
$\displaystyle (-3;-1)$
D
$\displaystyle (1;3)$

Câu 22

Cho hyperbol $(H): \dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ có hai tiêu điểm $F_1, F_2$ . Với $M$ là một điểm tùy ý thuộc $(H)$ . Hãy tính $S = (MF_1 + MF_2)^2 - 4OM^2$

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle \dfrac{1}{64}$
C
$\displaystyle 64$
D
$\displaystyle 8$

Câu 23

Cho hai tập hợp $A = (-\infty; 9a)$ , $B = \left(\dfrac{4}{a}; +\infty\right)$ . Tìm tất cả các giá trị âm của $a$ để $A \cap B \neq \varnothing$ .

A
$\displaystyle -\dfrac{2}{3} < a < 0$
B
$\displaystyle a < -\dfrac{2}{3}$
C
$\displaystyle -\dfrac{2}{3} \leq a < 0$
D
$\displaystyle a = -\dfrac{2}{3}$

Câu 24

Một lớp có 45 học sinh. Mỗi em đều đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn: bóng đá và bóng chuyền. Có 35 em đăng kí môn bóng đá, 15 em đăng kí môn bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí chơi cả 2 môn?

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 10$
C
$\displaystyle 25$
D
$\displaystyle 30$

Câu 25

Hàm số $y = \sqrt{(m+1)x^2 - 2(m+1)x + 4}$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}$ khi

A
$\displaystyle -1 < m \leq 3$
B
$\displaystyle -1 \leq m \leq 3$
C
$\displaystyle -1 < m < 3$
D
$\displaystyle m > -1$

Câu 26

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 7; BC = 4; \widehat{ABC} = 120^{\circ}$ . Chiều cao $BH$ của tam giác $ABC$ là

A
$\displaystyle \sqrt{93}$
B
$\displaystyle 14\sqrt{3}$
C
$\displaystyle 7\sqrt{3}$
D
$\displaystyle \dfrac{14\sqrt{31}}{31}$

Câu 27

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x^2 - 2x - 3 - m = 0$ có nghiệm $x \in [0;4]$ là

A
$\displaystyle m \in (-\infty;5]$
B
$\displaystyle m \in [-4;5]$
C
$\displaystyle m \in [-4;-3]$
D
$\displaystyle m \in [3;+\infty)$

Câu 28

Một chiếc cổng như hình vẽ, trong đó $CD = 6m, AD = 4m$ , phía trên cổng có dạng hình parabol

Hình vẽ cổng với đáy DC, hai trụ đứng AD và BC, phía trên là parabol AIB với đỉnh I

Người ta cần thiết kế cổng sao cho những chiếc xe container chở hàng với bề ngang thùng xe là $4m$ , chiều cao là $5,2m$ có thể đi qua được (chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc thùng xe và thùng xe có dạng hình hộp chữ nhật). Hỏi đỉnh $I$ của parabol (theo mép dưới của cổng) cách mặt đất tối thiểu là bao nhiêu?

A
$\displaystyle 6,16m$
B
$\displaystyle 6,14m$
C
$\displaystyle 6,13m$
D
$\displaystyle 6,15m$

Câu 29

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD, BC$ của tứ giác $ABCD$ . Đẳng thức nào sai?

A
$\displaystyle \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$
B
$\displaystyle \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MN}$
C
$\displaystyle \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{MN}$
D
$\displaystyle \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 2\overrightarrow{MN}$

Câu 30

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $\vec{a} = (-3;2), \vec{b} = (1;4), \vec{c} = (7;-2)$ . Biết $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}, \ (m,n \in \mathbb{R})$ . Hãy tìm $m,n$ .

A
$\displaystyle m = \dfrac{4}{7}, n = -\dfrac{15}{7}$
B
$\displaystyle m = -\dfrac{15}{7}, n = \dfrac{4}{7}$
C
$\displaystyle m = -\dfrac{15}{7}, n = -\dfrac{4}{7}$
D
$\displaystyle m = \dfrac{15}{7}, n = -\dfrac{4}{7}$

Câu 31

Cho hàm số $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in (0;2020)$ để phương trình $f^2(|x|) + (2 - m)f(|x|) + m - 3 = 0$ có $6$ nghiệm phân biệt.

Đồ thị hàm số y = f(x) là parabol có đỉnh tại (2; -1) và cắt trục tung tại điểm (0; 3)

A
$\displaystyle 2012$
B
$\displaystyle 2013$
C
$\displaystyle 2015$
D
$\displaystyle 2014$

Câu 32

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 60^0$ , cạnh $a = 30$ , bán kính đường tròn nội tiếp $r = 5\sqrt{3}$ . Tính tổng độ dài hai cạnh còn lại $b,c$ của tam giác $ABC$ .

A
$\displaystyle 30$
B
$\displaystyle 40$
C
$\displaystyle 60$
D
$\displaystyle 50$

Câu 33

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = 8$ cm, $AD = 12$ cm, góc $\widehat{ABC}$ nhọn và diện tích bằng $54$ cm $^2$ . Tính $\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)$ .

A
$\displaystyle \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}\right) = -\dfrac{5\sqrt{7}}{16}$
B
$\displaystyle \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}\right) = \dfrac{5\sqrt{7}}{16}$
C
$\displaystyle \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}\right) = -\dfrac{2\sqrt{7}}{16}$
D
$\displaystyle \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}\right) = \dfrac{2\sqrt{7}}{16}$

Câu 34

Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2 - x - 6}$ là

A
$\displaystyle [1;+\infty)$
B
$\displaystyle (1;+\infty)\setminus\{3\}$
C
$\displaystyle \mathbb{R}\setminus\{-2;3\}$
D
$\displaystyle [1;+\infty)\setminus\{3\}$

Câu 35

Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích $8a$ ( $a = 100m^2$ ). Nếu trồng đậu thì cần $20$ công và thu $3.000.000$ đồng trên mỗi $a$ , nếu trồng cà thì cần $30$ công và thu $4.000.000$ đồng trên mỗi $a$ . Để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá $180$ thì cần trồng đậu và cà trên diện tích lần lượt là:

A
$4a$ và $2a$
B
$6a$ và $2a$
C
$8a$ và $2a$
D
$6a$ và $8a$

Câu 36

Biết phương trình $(x-2)\sqrt{x^2+2x+2} = 2x^2+x-10$ có hai nghiệm phân biệt $x = 2$ và $x = \dfrac{a+b\sqrt{3}}{3}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ . Tính tổng $S = a^2+b^2$ .

A
$\displaystyle S = 81$
B
$\displaystyle S = 90$
C
$\displaystyle S = 91$
D
$\displaystyle S = 85$

Câu 37

Cho $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình sau $\begin{cases} x+2y \le 3 \\ 3x+2y \le 5 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}.$

Khi biểu thức $T = 600x+500y$ đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của $S = 2x+3y$ bằng

A
$\displaystyle 4$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 7$

Câu 38

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho elip $(E): \dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ . Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip bằng

A
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{5}}{4}$
C
$\displaystyle \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
D
$\displaystyle \dfrac{3\sqrt{5}}{5}$

Câu 39

Tìm mệnh đề sai?

A
$A\setminus B \subset A$ , với mọi tập $A,B$
B
$(A \cap B) \subset B$ , với mọi tập $A,B$
C
$(A \cup B) \subset (A \cap B)$ , với mọi tập $A,B$
D
$A \subset (A \cup B)$ , với mọi tập $A,B$

Câu 40

Cho tam giác $ABC$ có $\dfrac{5}{\sin A} = \dfrac{6}{\sin B} = \dfrac{7}{\sin C}$ và $a = 10$ . Tính chu vi của tam giác đó.

A
$\displaystyle 18$
B
$\displaystyle 24$
C
$\displaystyle 22$
D
$\displaystyle 36$

Phần II. Tự luận6,0 điểm

Câu 1

3,0 điểm

a)
Cho phương trình $\sqrt{2x^2 - 2x + m - 1} = x + 1$ (1) ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b)
Cho Parabol $(P)$ $y = x^2 - 2x + 4$ và đường thẳng $d: y = 2mx - m^2$ ( $m$ là tham số). Tìm các giá trị của $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ là $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + 2(m+1)x_2 = 3m^2 + 16$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Cho tam giác $ABC$ , $M$ là trung điểm $BC$ , điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{6}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)$ , điểm $K$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AK = \dfrac{1}{5}AC$ . Chứng minh rằng $B, I, K$ là ba điểm thẳng hàng.
b)
Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh là $BC = a, CA = b, AB = c$ ; góc $A = 60^0$ và $\dfrac{a+b}{a+c} = 2\cos B - 1$ . Tính số đo các góc $B$ và $C$ .

Câu 3

1,0 điểm

Cho ba số dương $x, y, z$ thỏa mãn $xyz = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = \frac{x}{2x^2 + y^2 + 5} + \frac{2y}{6y^2 + z^2 + 6} + \frac{4z}{3z^2 + 4x^2 + 16}.

HẾT