Đề thi Olympic Toán 10 năm 2024 — Cụm trường THPT Hà Đông — Hoài Đức, Hà Nội

Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{\sqrt{6 - 3|x|}}{x^{2} + 4x + 3}$.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị $(P): y = x^{2} + 3x + m$ cắt đường thẳng $y = -2x + 2$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} - x_{2})^{2} + 8x_{1}x_{2} = 1$.

Cho bất phương trình $\sqrt{3 + x} + \sqrt{6 - x} - \sqrt{(3 + x)(6 - x)} \leq m$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in [-3;6]$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB = c, AC = b, BC = a$ thỏa mãn $\dfrac{b^{3} + c^{3} - a^{3}}{b + c - a} = a^{2}$. Tính góc $\widehat{BAC}$.

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $M$ là điểm di động trên đường thẳng $AB$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \left|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\right|$.

Giải phương trình $x^{2} - x - 4 = 2\sqrt{x - 1}(1 - x)$.

Nhà máy dự định dùng hai loại nguyên liệu để sản xuất ít nhất $140$ kg chất A và $18$ kg chất B. Với mỗi tấn nguyên liệu loại I, nhà máy chiết xuất được $20$ kg chất A và $1,2$ kg chất B. Với mỗi tấn nguyên liệu loại II, nhà máy chiết xuất được $10$ kg chất A và $3$ kg chất B. Giá mỗi tấn nguyên liệu loại I là $8$ triệu đồng và loại II là $6$ triệu đồng. Hỏi nhà máy phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất mà vẫn đạt mục tiêu đề ra. Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp tối đa $9$ tấn nguyên liệu loại I và $8$ tấn nguyên liệu loại II.

Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $AB = c, BC = a, AC = b$; độ dài các đường cao hạ từ đỉnh $A; B; C$ lần lượt là $h_{a}; h_{b}; h_{c}$ thỏa mãn $a\sin A + b\sin B + c\sin C = h_{a} + h_{b} + h_{c}$. Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Xét các số thực $x, y, z$ thỏa mãn đồng thời $0 < x < y \leq z \leq 1$ và $3x + 2y + z \leq 4$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S = 3x^{2} + 2y^{2} + z^{2}$.