Đề thi học sinh giỏi Toán 10 cấp tỉnh năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Hà Nam

Cho hàm số $y = x^2 - 2x - 3$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d: y = mx - m$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $\frac{2x_1 + m + 3}{x_2} + \frac{2x_2 + m + 3}{x_1} = -4$.

Cổng vòm hoa tại một lễ cưới có hình dạng là đường parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng vòm hoa là $3,2m$. Tại vị trí trên cổng vòm hoa có độ cao $2m$ so với mặt đất người ta thả một sợi dây chạm đất cách chân $A$ của cổng vòm hoa một đoạn $1m$ (hình 1). Tính chiều cao của cổng vòm hoa (làm tròn đến hàng phần trăm).

Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí $A$ đến một hòn đảo ở vị trí $D$. Khoảng cách ngắn nhất từ $D$ vào đất liền là $DC = 2km$. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là $5km$. Người ta chọn một vị trí (điểm $B$) nằm giữa $A$ và $C$ để mắc đường dây điện từ $A$ đến $B$, rồi từ $B$ đến $D$ (hình 2). Chi phí mắc mỗi $km$ dây điện trên đất liền là $3.000USD$, chi phí mắc mỗi $km$ dây điện ngầm dưới biển là $5.000USD$. Hỏi điểm $B$ phải cách điểm $A$ bao nhiêu $km$, biết tổng chi phí mắc dây điện nối từ vị trí $A$ đến vị trí $D$ theo cách trên là $23.000USD$.

Cho bất phương trình $m(x + 1)(x - 3) - 2\sqrt{3 + 2x - x^2} + 3 \ge 0$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in [-1;3]$.

Cho tam giác $ABC$ đều có độ dài cạnh bằng $a$. Trên các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt lấy các điểm $N, M, P$ sao cho $BN = \dfrac{a}{3}$, $CM = \dfrac{2a}{3}$, $AP = x$ $(0 < x < a)$. Tìm giá trị của $x$ theo $a$ để đường thẳng $AN$ vuông góc với đường thẳng $PM$.

Tại một tỉnh miền núi. Để tránh núi, đường đi phải vòng qua núi như mô hình (hình 3). Biết $AB = 11\text{km}$; $BC = 10\text{km}$; $CD = 8\text{km}$ và $\widehat{ABC} = 101^{\circ}$; $\widehat{BCD} = 145^{\circ}$. Tính khoảng cách giữa vị trí $A$ và vị trí $D$ (làm tròn đến hàng phần chục).