Đề thi Olympic Toán 10 năm 2023–2024 — Cụm trường THPT Hoàn Kiếm — Hai Bà Trưng, Hà Nội

Câu I

4,0 điểm

Cho hàm số $y = x^2 - 4x + 5$ có đồ thị $(P)$ .

1)
Lập bảng biến thiên của hàm số.
2)
Chứng minh đường thẳng $d: y = mx + 6$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ có hoành độ lần lượt là $x_1, x_2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $T = |x_1 - x_2|$ .

Câu II

6,0 điểm

1)
Giải phương trình
1. a)
  $\sqrt{x^2 - 3x - 4} = 2x - 10$ .
2. b)
  $\sqrt{x + 1} + \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 1)(4 - x)} = 5$ .
2)
Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe $A$ và $B$ , trong đó xe loại $A$ có 10 chiếc, xe loại $B$ có 9 chiếc. Một chiếc xe loại $A$ được cho thuê với giá 4 triệu, loại $B$ giá 3 triệu. Hỏi công ty phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất, biết rằng xe $A$ chỉ chở được tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng, xe $B$ chở được tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng.

Câu III

4,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ , có $BC = a, CA = b, AB = c$ . Ký hiệu $h_a$ là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh $A$ và $p$ là nửa chu vi của tam giác $ABC$ .

1)
Chứng minh $b^2 - c^2 = a(b\cos C - c\cos B)$ .
2)
Chứng minh tam giác $ABC$ cân nếu thỏa mãn điều kiện $h_a = \sqrt{p(p - a)}$ .

Câu IV

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và $AB = c, AC = b, BC = a$ .

1)
Chứng minh $a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} + c\overrightarrow{IC} = \vec{0}$ .
2)
Giả sử $a = 3, b = 5$ . Tìm $c$ để $IG \perp IC$ , với $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ .

Câu V

3,0 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $\Delta ABC$ biết $B(2; -1)$ , đường thẳng chứa đường cao và đường phân giác trong qua hai đỉnh $A, C$ có phương trình lần lượt là $3x - 4y + 27 = 0$ và $x + 2y - 5 = 0$ .

1)
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $BC$ và tìm tọa độ điểm $C$ .
2)
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ .