Đề thi học sinh giỏi Toán 10 năm 2023–2024 — Cụm trường THPT Gia Lâm — Long Biên, Sở GD&ĐT Hà Nội

Câu I

4,0 điểm

Cho hàm số $y = 2x^2 - 3x - 5$ (1).

1)
Lập bảng biến thiên của hàm số (1).
2)
Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị của hàm số (1) cắt đường thẳng $y = 4x + m$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1; y_1)$ , $B(x_2; y_2)$ thỏa mãn $2x_1^2 + 2x_2^2 = 3x_1x_2 + 7$ .

Câu II

6,0 điểm

1)
Giải các phương trình sau:
1. a)
  $\sqrt{4x + 5} = 2x - 3$ .
2. b)
  $x^2 + 2x + 2x\sqrt{x + 3} = 6\sqrt{1 - x} + 7$ .
2)
Một công ty điện tử sản xuất hai loại máy tính trên hai dây chuyền độc lập (loại một và loại hai). Máy tính loại một sản xuất trên dây chuyền một với công suất tối đa 45 máy tính một ngày; máy tính loại hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất tối đa 80 máy tính một ngày. Để sản xuất một chiếc máy tính loại một cần 12 linh kiện và cần 9 linh kiện để sản xuất một máy tính loại hai. Biết rằng số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 linh kiện và tiền lãi bán một chiếc máy loại một là 2.500.000 đồng; tiền lãi khi bán một chiếc máy loại hai là 1.800.000 đồng. Hỏi trong một ngày công ty cần sản xuất mỗi loại bao nhiêu máy tính để tiền lãi thu được là nhiều nhất. (Giả thiết rằng tất cả các máy tính sản xuất ra trong ngày đều bán hết).

Câu III

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh bằng $a$ . Gọi $D$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $\overrightarrow{BD} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ và $I$ là trung điểm của $AD$ . Gọi $E$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AE} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ .

1)
Chứng minh ba điểm $B, I, E$ là ba điểm thẳng hàng.
2)
$M$ là điểm tùy ý thuộc miền trong tam giác $ABC$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\right| + \left|\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\right|$ .

Câu IV

5,0 điểm

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hai điểm $A(-2; 4)$ và $B(8; 4)$ .

1)
Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} = \vec{0}$ .
2)
Tìm tọa độ điểm $C$ thuộc trục hoành sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ .
3)
Viết phương trình đường thẳng $d$ song song với $\Delta: 3x + 4y - 20 = 0$ và cách điểm $A(-2; 4)$ một khoảng bằng 2.

Câu V

2,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $\dfrac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C} = \sin A$ và $AB.AC = 12$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Tìm diện tích tam giác $MBG$ .