Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 10 năm 2024 — Sở GD&ĐT Hải Dương

Câu I

2,0 điểm

1)
Cho hàm số $y = (m-2)x^2 + 2mx + m + 2$ . Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-2; +\infty)$ .
2)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P): y = x^2 - 2mx - 2m - 3$ , đường thẳng $(d): y = 2x + m$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $M, N$ sao cho $MN = 10\sqrt{2}$ .

2,0 điểm

1)
Giải phương trình $x\sqrt{2x^2 - x + 3} = 4x - 2$ $(x \in \mathbb{R})$ .
2)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} \sqrt{3x^2 + 6y - 2} = 2y + 1 \\ 4y^3 + (x+1)(xy - 3x + y) = x^3 + 1 \end{cases}$

$(x, y \in \mathbb{R})$ .

2,0 điểm

1)
Một xưởng cơ khí có hai công nhân là An và Bình. Xưởng sản xuất hai loại sản phẩm $I$ và $II$ . Mỗi sản phẩm loại $I$ bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại $II$ bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm loại $I$ thì An phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm loại $II$ thì An phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể tham gia làm hai loại sản phẩm tại cùng một thời điểm. Biết rằng trong một tháng An không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Tính số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng đó.
2)
Cho tập hợp $A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ . Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số và chia hết cho 6 được lập từ các chữ số thuộc tập $A$ . Tính số phần tử của tập $S$ .

3,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ . Lấy các điểm $M, N, P$ lần lượt nằm trên ba cạnh $BC, CA, AB$ sao cho $BM = \dfrac{1}{3}BC, AC = 2AN, AP = x, 0 < x < a$ . Tính $x$ theo $a$ để $AM$ vuông góc với $NP$ .
2)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $D$ , $CD = 2AB$ . Gọi $H$ là hình chiếu của $D$ trên $AC$ và $M$ là trung điểm $HC$ , $K$ là trực tâm tam giác $ADM$ . Biết điểm $D$ có hoành độ bằng 2, phương trình đường thẳng $DH$ và $BM$ lần lượt là $2x + y - 6 = 0$ và $4x + 7y - 61 = 0$ . Tìm tọa độ điểm $K$ .
3)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính bằng 1. Gọi $H, E, K$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh $A, B, C$ . Gọi diện tích các tam giác $ABC$ và $HEK$ lần lượt là $S$ và $S_0$ . Biết $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $S_0 = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{4}S$ . Tính độ dài đoạn $OG$ .

1,0 điểm

Cho 3 số thực $a, b, c > 1$ thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 \leq 2(a + b + c)$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

H = \frac{a-1}{a^2 + 4b} + \frac{b-1}{b^2 + 4c} + \frac{c-1}{c^2 + 4a}