Đề thi Olympic Toán 10 năm 2023–2024 — Cụm Thạch Thất — Quốc Oai, Sở GD&ĐT Hà Nội

Câu 1

6,0 điểm

a)
Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = x^{2} - 4x + 3$ .
b)
Giải phương trình: $\sqrt{3x + 1} = 5x - 3$ .

Câu 2

3,0 điểm

Cho bất phương trình $(m - 1)x^{2} + 2mx + m - 3 \ge 0$ .

a)
Giải bất phương trình khi $m = 2$ .
b)
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 3

3,0 điểm

a)
Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $AB = c, BC = a, CA = b$ thỏa mãn hệ thức

$\frac{1 + \cos C}{1 - \cos C} = \frac{2b + a}{2b - a}$

Chứng minh rằng tam giác $ABC$ cân.
b)
Cho tam giác $ABC$ có $AB = a, AC = 2a, \angle BAC = 60^{\circ}$ , trọng tâm $G$ . Tính diện tích tam giác $ABG$ .

Câu 4

6,0 điểm

a)
Cho tam giác $ABC$ . Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $5\overrightarrow{BD} = 3\overrightarrow{BC}$ và một điểm $E$ thỏa mãn $4\overrightarrow{EA} + 2\overrightarrow{EB} + 3\overrightarrow{EC} = \vec{0}$ . Chứng minh rằng ba điểm $E, A, D$ thẳng hàng.
b)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho hình vuông $ABCD$ . Biết trung điểm của cạnh $BC$ là điểm $N(1;2)$ , đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ADN$ có phương trình $5x - y + 1 = 0$ . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông $ABCD$ biết đỉnh $A$ có hoành độ dương.

Câu 5

2,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ , biết $AB = 3, BC = 4, CA = 5$ . Điểm $M$ thay đổi thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = MB^{2} + MC^{2} - MA^{2}$ .