Đề thi Olympic môn Toán (chuyên) lớp 9 lần 1 năm 2024 — Trường THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh

Thời gian: 150 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

4,0 điểm

a)
Cho $a,b,c$ là các số thực đôi một khác nhau, thỏa mãn $a^2(b+c)=b^2(c+a)=2024$ . Tính $c^2(a+b)$ .
b)
Giải phương trình $\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}}+\sqrt{x-1}=\sqrt{x+8}$ .

Câu 2

6,0 điểm

a)
Cho đa thức $P(x)$ bậc 3, có các hệ số là các số nguyên và $P(x)$ chia hết cho 7 với mọi số nguyên $x$ . Chứng minh các hệ số của đa thức $P(x)$ đều chia hết cho 7.
b)
Tìm các số tự nhiên $x,y$ để $x^4+4y^4$ là số nguyên tố.
c)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$ số $4(8m+7)$ không thể viết được dưới dạng tổng của ba số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên).

Câu 3

7,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ không cân có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$ . Điểm $K$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên đường thẳng $EF$ , đường thẳng qua $K$ vuông góc với $IK$ cắt các đường thẳng $CA,BA$ lần lượt tại $V,U$ .

a)
Chứng minh rằng tứ giác $AVIU$ nội tiếp và $UF=VE$ ;
b)
Chứng minh rằng $\dfrac{KF}{KE}=\dfrac{DB}{DC}$ ;
c)
Gọi $E'$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc $B$ của tam giác $ABC$ với $AC$ ; $F'$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc $C$ của tam giác $ABC$ với $AB$ . Chứng minh các điểm $E',F',U,V$ cùng thuộc một đường tròn.

Câu 4

2,0 điểm

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$ . Chứng minh

\frac{1}{a^2+2a}+\frac{1}{b^2+2b}+\frac{1}{c^2+2c} \ge 1.

Câu 5

1,0 điểm

Cho một mạng lưới các ô vuông kích thước $5\times 5$ , trong đó có khuyết một hình vuông kích thước $2\times 2$ như hình vẽ. Một người đứng ở điểm $A$ cần di chuyển đến điểm $B$ , biết mỗi bước đi chỉ có thể đi lên trên hoặc sang phải theo đỉnh mỗi ô vuông kích thước $1\times 1$ . Hỏi có bao nhiêu cách để người đó có thể di chuyển từ $A$ đến $B$ .

Mạng lưới ô vuông 5x5 khuyết hình vuông 2x2 với điểm A và điểm B

HẾT