Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2024 — Sở GD&ĐT Đắk Lắk

Tính giá trị của biểu thức $A = x^{2} - 2x + 23$, với $x = \sqrt{3 + \sqrt{5 + 2\sqrt{3}}} + \sqrt{3 - \sqrt{5 + 2\sqrt{3}}}$.

Trong mặt phẳng $(Oxy)$, cho đường thẳng $(d): y = (m - 2)x + m + 1$ ($m$ là tham số) và parabol $(P): y = \dfrac{1}{2}x^{2}$. Chứng minh rằng với mọi số thực $m$ đường thẳng $(d)$ luôn cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a \neq 0$ và $2a + 3b + 6c = 0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ và tìm giá trị nhỏ nhất của $|x_{1} - x_{2}|$.

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} y^{2} + 2x^{2} + 3y - 4x - 3xy + 2 = 0 \\ \sqrt{y - x + 1} + \sqrt{x^{2} - y + 3} - 2 = 0 \end{cases}$

.

Cho $a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\dfrac{(a + b)^{2} + 4a}{ab}$ là số tự nhiên. Chứng minh rằng: Nếu $b$ là số lẻ thì $a$ là số chính phương.

Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là số nguyên dương và số đo chu vi bằng số đo diện tích.

Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $PA$ và $PB$ với $CD$. Chứng minh bốn điểm $A, B, M, N$ cùng nằm trên một đường tròn và đường thẳng $OP$ vuông góc với $EF$.

Chứng minh $\left(\dfrac{EF}{AB}\right)^{2} = \dfrac{PE}{PA} \cdot \dfrac{PF}{PB}$.

Chứng minh $\dfrac{EF}{BA} + \dfrac{BA}{EF} + \dfrac{AF}{BE} + \dfrac{BE}{AF} \leq \dfrac{PE}{PA} + \dfrac{PA}{PE} + \dfrac{PF}{PB} + \dfrac{PB}{PF}$.