Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT thành phố Bắc Ninh

Câu 1

5,0 điểm

1)
Cho hai biểu thức $P = \left(\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - x + \sqrt{x} - 1}\right) : \left(\dfrac{x + \sqrt{x}}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{x + 1}\right)$ với $x \ge 0; x \ne 1$ .
1. a)
  Rút gọn biểu thức $P$ .
2. b)
  Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $P > \sqrt{x} - 2$ .
2)
Cho các số dương $x, y, z$ thỏa mãn các điều kiện $x + y + z = 2$ và $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2$ .

Tính giá trị biểu thức: $P = x\sqrt{\dfrac{(1 + y^{2})(1 + z^{2})}{1 + x^{2}}} + y\sqrt{\dfrac{(1 + z^{2})(1 + x^{2})}{1 + y^{2}}} + z\sqrt{\dfrac{(1 + x^{2})(1 + y^{2})}{1 + z^{2}}}$ .

Câu 2

4,0 điểm

1)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn: $2x^{2} + y^{2} + 4x = 4 + 2xy$ .
2)
Cho $x; y; z$ là các số nguyên và $\begin{cases} P = (x + 2023)^{5} + (2y - 2024)^{5} + (3z + 2025)^{5} \\ S = x + 2y + 3z + 2024 \end{cases}$

Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$ .

Câu 3

3,0 điểm

1)
Cho đường thẳng $(d): y = mx - m + 2$ ( $m$ là tham số) và parabol $(P): y = \dfrac{x^{2}}{2}$ . Đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $(x_{1}; y_{1})$ và $(x_{2}; y_{2})$ . Chứng minh rằng $y_{1} + y_{2} \ge (2\sqrt{2} - 1)(x_{1} + x_{2})$ .
2)
Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x + y + z = 3$ . Chứng minh rằng:
$\frac{x^{3}}{y^{3} + 8} + \frac{y^{3}}{z^{3} + 8} + \frac{z^{3}}{x^{3} + 8} \ge \frac{1}{9} + \frac{2}{27}(xy + yz + zx).$

Câu 4

6,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ . Tia $AH$ cắt $(O)$ tại $K$ ( $K$ khác $A$ ), tia $KO$ cắt $(O)$ tại $M$ ( $M$ khác $K$ ) và tia $MH$ cắt $(O)$ tại $P$ ( $P$ khác $M$ ).

a)
Chứng minh $OD // MH$ và tứ giác $AODP$ nội tiếp một đường tròn.
b)
Gọi $Q$ là giao điểm của $PA$ và $EF$ . Chứng minh $AQ.AP = AH.AD$ và $DQ \perp EF$ .
c)
Tia $PE$ và tia $PF$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $L$ và $N$ ( $L, N$ khác $P$ ). Chứng minh $LC = NB$ .

Câu 5

2,0 điểm

1)
Giải phương trình $\sqrt{6x^{2} + 2x + 1} - \sqrt{2x^{2} + x + 1} = \dfrac{8x^{2} + 2x}{3x^{2} + 3x + 4}$ .
2)
Cho $n$ là số lẻ. Chứng minh rằng từ $(n - 1)^{2} + 1$ số nguyên bất kì có thể chọn ra được $n$ số sao cho tổng của chúng chia hết cho $n$ .