Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Sông Công, Thái Nguyên

Câu 1

6,0 điểm

Cho biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} + \dfrac{2+5\sqrt{x}}{4-x}$ .

a)
Rút gọn biểu thức $A$ .
b)
Tìm $x$ để $A = \dfrac{3}{4}$ .
c)
Tìm tất cả các giá trị của $x$ để giá trị của biểu thức $A$ là số nguyên.

Câu 2

3,0 điểm

Cho phương trình $x^{2} - (2m+3)x + m = 0$ (với $m$ là tham số).

a)
Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$ .
b)
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ sao cho $(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3

4,0 điểm

a)
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n^{4} + 4^{n}$ là số nguyên tố.
b)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình $20y^{2} - 6xy + 15x = 150$ .

Câu 4

6,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AH$ là đường cao. Trên đoạn thẳng $HC$ lấy điểm $M (M \neq H, M \neq C)$ . Gọi $I, J$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến các cạnh $AC$ và $AB$ ; $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua đường thẳng $IJ$ .

a)
Chứng minh rằng các điểm $A, J, M, I, N$ cùng thuộc một đường tròn.
b)
Chứng minh rằng điểm $N$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ .
c)
Đường thẳng $AM$ cắt đường tròn đường kính $BC$ tại điểm $P (P \neq A)$ . Chứng minh rằng $\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{PM}{PC} + \dfrac{PM}{PB}$ .
d)
Gọi $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$ . Kẻ $HK$ vuông góc với $CD$ tại điểm $K$ . Chứng minh rằng $\widehat{BAK} = \widehat{KHC}$ .

Câu 5

1,0 điểm

Xét tất cả các số thực $x, y, z$ không âm và thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xyz = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = xy + yz + zx - 2xyz$ .