Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 — Sở GD&ĐT TP HCM

Thời gian: 120 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

4,0 điểm

1)
Cho 2 số $a, b$ thỏa $a - b = 3$ . Tính giá trị của biểu thức $M = a^3 - b^3 - 9ab$
2)
Giải phương trình: $\sqrt{x + 2025} - \sqrt{16 - 3x} = 41$

Câu 2

6,0 điểm

1)
Thầy Bình chấm bài kiểm tra Toán lớp 9A có 45 bạn, sót bạn An nên điểm trung bình là $7,55$ . Sau đó chấm bổ sung được $7,56$ . Tính điểm bạn An.
2)
Ông Năm có cuộn dây $100m$ làm rào chắn cho hồ cá dạng hình chữ nhật, biết rằng ông Năm không rào cả mặt tiếp xúc bờ. Tìm cách rào sao cho diện tích hồ cá đạt giá trị lớn nhất.
3)
Ba bạn Phúc, Lộc, Thọ lần lượt viết lên bảng các số tự nhiên từ 1 đến 9 sao cho số người trước không trùng số người sau. Tính xác suất số bạn Phúc chia hết cho số bạn Lộc, số bạn Lộc chia hết cho số bạn Thọ.

Câu 3

5,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ nhọn, lấy điểm $P$ thuộc miền trong của tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{PAC} = \widehat{PBC}$ . Từ $P$ kẻ $PM \perp BC$ tại $M$ , $PK \perp AC$ tại $K$ . Gọi $D$ là trung điểm $AB$ . Chứng minh: $DM = DK$ .
2)
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O; R)$ . Lấy điểm $M$ thuộc cung $BC$ , từ $M$ kẻ $MP, MQ, MR$ lần lượt vuông góc với $AB, BC, CA$ tại $P, Q, R$ .
1. a)
  Chứng minh: $P, Q, R$ thẳng hàng.
2. b)
  Kẻ $CS \perp AM$ tại $S$ , $CE \perp AB$ tại $E$ . Chứng minh: $PQ = ES$

Câu 4

3,0 điểm

1)
Cho số tự nhiên $n$ cộng thêm với $26$ , tiếp đó thêm $3$ chữ số vào bên phải của số đã cho. Biết rằng sau khi thêm, số đó là tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ $1$ đến $n$ . Tìm $n$ và $3$ chữ số đã thêm.
2)
Cho tập hợp $X = \{1; 2; 3; ...; 100\}$ . Hỏi sẽ lấy ra ít nhất bao nhiêu số sao cho chắc chắn:
1. a)
  “Trong các số đã lấy có $5$ số tự nhiên liên tiếp”
2. b)
  “Trong các số đã lấy có $2$ số có tổng chia hết cho $5$ ”

Câu 5

2,0 điểm

Cho đa thức $P(x) = x^2 + ax + b$ $(a, b \in \mathbb{Z})$ . Biết rằng đa thức $P(x)$ sẽ gọi là đa thức “tốt” nếu $P(x)$ thỏa mãn có ít nhất một nghiệm nguyên và trị tuyệt đối của $a$ và $b$ không vượt quá $2025$ .

a)
Chứng minh rằng nếu $P(x)$ là đa thức “tốt” thì $P(-x)$ cũng là đa thức “tốt”.
b)
Gọi $S(x)$ là tổng của các đa thức “tốt”. Chứng minh $S(x)$ không có nghiệm thực.

HẾT