Đề thi lập đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2025 — Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Câu 1

5,0 điểm

a)
Với $a, b, c$ là các số thực bất kỳ thỏa mãn $a \ge b \ge c > 0$ , chứng minh
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \le \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}.$
b)
Với $n \in \mathbb{N}^*, n \ge 2$ và các các số thực $x_1 \ge x_2 \ge \ldots \ge x_n > 0$ , chứng minh
$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_3} + \ldots + \frac{x_{n-1}}{x_n} + \frac{x_n}{x_1} \le \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_3}{x_2} + \ldots + \frac{x_n}{x_{n-1}} + \frac{x_1}{x_n}.$

Câu 2

5,0 điểm

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn:

(P(x))^2 = 2P(x^2 - 1) + 1.

Câu 3

5,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, $AB < AC$ , nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ cắt các đường thẳng $AC, AB$ lần lượt tại $M$ ( $M \ne C$ ) và $N$ ( $N \ne B$ ).

a)
Chứng minh $MN$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$ .
b)
Kẻ các đường cao $BE, CF$ của tam giác $ABC$ ( $E, F$ là chân các đường cao). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEM$ cắt $(O)$ tại điểm $P \ne B$ , đường tròn ngoại tiếp tam giác $CFN$ cắt $(O)$ tại điểm $Q \ne C$ ; các điểm $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $EM$ và $FN$ . Kẻ đường thẳng $d$ qua $H$ và song song với $PE$ , đường thẳng $d'$ qua $K$ và song song với $QF$ ; gọi $S$ là giao điểm của $d$ và $d'$ . Chứng minh đường thẳng $AS$ vuông góc với đường thẳng $AI$ .

Câu 4

5,0 điểm

Cho một bàn cờ là một lưới ô vuông kích thước $7 \times 8$ , trên mỗi ô vuông đều đang có một quân cờ. Hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh hoặc chung một đỉnh. Hỏi phải nhấc ra khỏi bàn cờ ít nhất bao nhiêu quân cờ, để trong các quân còn lại, không có 5 quân nào nằm trên 5 ô vuông kề nhau thẳng hàng theo hàng dọc, hàng ngang và hàng chéo?