Đề thi lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2025 — Sở GD&ĐT Tuyên Quang

Thời gian: 180 phút
Số câu: 4 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

5,0 điểm

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:

\begin{cases} x_1 = 2, x_2 = \dfrac{22}{23} \\ 23x_{n+2} = 22x_{n+1} + x_n, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}

a)
Tính $\lim x_n$ .
b)
Đặt $y_n = \dfrac{x_1}{2} + \dfrac{x_2}{2^2} + \ldots + \dfrac{x_n}{2^n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$ . Chứng minh rằng dãy số $(y_n)$ bị chặn.

Câu 2

5,0 điểm

Tìm tất cả các hàm số $f: (0;+\infty) \to (0;+\infty)$ thỏa mãn

x^2(f(x) + f(y)) = (x + y)f(yf(x)), \text{ với mọi } x, y \in (0;+\infty).

Câu 3

5,0 điểm

Với $k$ là một số nguyên dương ta kí hiệu $\delta(k)$ là tổng tất cả các ước nguyên dương của $k$ . Chứng minh rằng:

a)
$\dfrac{\delta\left(p^{2025}\right)-1}{p^{2025}-1} = \dfrac{\delta\left(p^{1945}\right)-1}{p^{1945}-1}$ , với mọi số nguyên tố $p$
b)
$\delta(mn) \ge n\delta(m) + \delta(n) - n$ , với mọi $m, n \in \mathbb{N}^*$ .

Câu 4

5,0 điểm

Trên mặt phẳng, cho 4 điểm phân biệt $A, B, C, D$ trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn $(\omega)$ đi qua 3 trong 4 điểm này và điểm còn lại thuộc miền trong của $(\omega)$ hoặc nằm trên $(\omega)$ .

HẾT