Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm 2025 — Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Câu 1

6,0 điểm

Cho hai đa thức $P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ và $Q(x)=b_n x^n - b_{n-1}x^{n-1}-\ldots-b_1x-b_0$ có hệ số thực thỏa mãn $0 < b_n < |a_n|$ và $b_i > |a_i|$ với mọi $i \in \{0;1;\ldots;n-1\}$ .

a)
Chứng minh rằng $Q(x)$ có đúng một nghiệm dương duy nhất.
b)
Gọi $x_0$ là nghiệm dương duy nhất của $Q(x)$ . Chứng minh rằng các nghiệm của $P(x)$ nếu có thì đều thuộc khoảng $(-x_0;x_0)$ .

Câu 2

7,0 điểm

a)
Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $x^2 - 3xy + y^2 = 3$ .
b)
Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại vô hạn số nguyên dương $k$ thỏa mãn phương trình $x^2 - kxy + y^2 = m$ có ít nhất một nghiệm nguyên $(x, y)$ với $x > 0, y > 0$ .

Câu 3

7,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ , đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$ .

a)
Gọi $X, Y, Z$ lần lượt là trung điểm của $AI, BI, CI$ . Chứng minh rằng $DX, EY, FZ$ đồng quy.
b)
Gọi $L$ là giao điểm của $AD$ với $EF$ , lấy điểm $P$ thuộc $BC$ sao cho $\frac{PB}{PC} = \frac{LF}{LE}$ , $M$ là trung điểm $BC$ . Trên đường trung trực của $MP$ lấy $K$ sao cho $MK$ song song với $AI$ . Chứng minh rằng đường tròn tâm $K$ đi qua $M$ và $P$ tiếp xúc với đường tròn $(BIC)$ .