Đề thi khảo sát năng lực Toán 9 (vòng 2, đợt 1) năm 2025 — Trường THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội

Thời gian: 150 phút
Số câu: 4 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu I

3,0 điểm

1)
Giải phương trình

$\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2} = 3.$
2)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 + 7xy = 12 \\ x^3 + 3x^2y + 2y^2x + 2x + 4y = 12. \end{cases}$

Câu II

3,0 điểm

1)
Tìm $x, y$ nguyên thỏa mãn

$y = \dfrac{x+1}{x^4+1}.$
2)
Với $a, b, c$ là những số thực dương thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = 2a^2 + b^2 + c^2.$

Câu III

3,0 điểm

Cho hình thang $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AD \parallel BC$ và $AD < BC$ . Giả sử tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$ .

1)
Chứng minh rằng $DP$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$ .
2)
Gọi $K$ là trung điểm $AP$ . Chứng minh rằng $KD$ đi qua trọng tâm tam giác $ABC$ .
3)
Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Giả sử có $F$ nằm trên đường thẳng $BD$ sao cho $AF \perp HM$ . Chứng minh rằng $FK, AC, PD$ đồng quy.

Câu IV

1,0 điểm

Với $n$ nguyên, $n \geq 3$ , hãy tìm $n$ để có thể viết các số $1, 2, 3, \dots, n^2$ vào các ô vuông của bảng $(n \times n)$ mỗi ô đúng một số, sao cho tổng 4 số trên các hình bất kỳ dạng

bốn hình chữ T gồm 4 ô vuông ở các hướng khác nhau

của bảng đều là số chẵn.

HẾT