Đề thi khảo sát học sinh giỏi Toán 9 lần 4 năm 2023–2024 — Trường TH&THCS Hồng Phương, Vĩnh Phúc

Cho biểu thức: $A = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz$.

Cho $a; b; c$ là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Tính giá trị của biểu thức: $P = \dfrac{a^2}{a^2 + 2bc} + \dfrac{b^2}{b^2 + 2ac} + \dfrac{c^2}{c^2 + 2ab}$.

Cho phương trình $\dfrac{1 - 21a}{x + 7} = 1 - 3a$ (ẩn $x$, $a$ là tham số). Hãy tìm tất cả các giá trị của $a$ để phương trình trên có nghiệm âm.

Tìm đa thức $f(x)$ biết rằng $f(x)$ chia cho $x + 2$ dư $10$, $f(x)$ chia cho $x - 2$ dư $22$, $f(x)$ chia cho $x^2 - 4$ được thương là $-5x$ và còn dư.

Tìm số tự nhiên $n$ để $n + 18$ và $n - 41$ là hai số chính phương.

Cho tam giác $ABC$ nhọn có các đường cao $AA'$, $BB'$, $CC'$ cắt nhau tại $H$. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$. Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $DH$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{CF^2} = \dfrac{1}{BC^2} + \dfrac{1}{4AD^2}$

Một cửa hàng ban đầu niêm yết giá cho một chiếc điện thoại là $12\,000\,000$ đồng. Sau đó cửa hàng đã giảm giá chiếc điện thoại này hai đợt, mỗi đợt đều giảm giá là $m\%$ so với giá trước đó. Sau hai đợt giảm giá, cửa hàng đã bán chiếc điện thoại này với giá $7\,680\,000$ đồng. Hỏi mỗi đợt cửa hàng đã giảm giá bao nhiêu phần trăm?

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa $ab + bc + ca = 3$.

Chứng minh rằng $\dfrac{1}{a^2 + b^2 + 1} + \dfrac{1}{b^2 + c^2 + 1} + \dfrac{1}{c^2 + a^2 + 1} \le 1$