Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025–2026 — Trường THCS Ký Phú, Thái Nguyên

Thời gian: 150 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

6,0 điểm

Cho biểu thức $P = \dfrac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}}$ .

a)
Rút gọn biểu thức $P$ .
b)
Tính giá trị của biểu thức $P$ biết $x = 4$ .
c)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ .

Câu 2

2,0 điểm

a)
Cho $a, b, c$ là các số nguyên bất kỳ, chứng minh rằng nếu $a + b + c$ chia hết cho 4 thì $(a + b)(b + c)(c + a) - abc$ chia hết cho 4.
b)
Tìm tất cả các số nguyên $k$ để $k^4 - 8k^3 + 23k^2 - 26k + 10$ là số chính phương.

Câu 3

2,0 điểm

Tìm các hệ số $a, b$ sao cho đa thức $P(x) = 4x^4 - 11x^3 - 2ax^2 + 5bx - 6$ chia hết cho đa thức $x^2 - 2x - 3$ .

Câu 4

3,0 điểm

Bạn Mai gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất (con xúc xắc 6 mặt) hai lần liên tiếp. Tính xác suất của các biến cố sau

a)
A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là khác nhau”.
b)
B: “Có ít nhất một lần gieo số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 6 chấm”.

Câu 5

6,0 điểm

Cho đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $d$ cố định, $d$ không có điểm chung với đường tròn. Gọi $M$ là điểm thuộc đường thẳng $d$ . Qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$ , $MB$ tới đường tròn $(O)$ ( $A, B$ là các tiếp điểm). Từ $O$ kẻ $OH$ vuông góc với đường thẳng $d$ ( $H \in d$ ). Nối $A$ với $B$ , $AB$ cắt $OH$ tại $K$ và cắt $OM$ tại $I$ . Tia $OM$ cắt $(O; R)$ tại $E$ .

a)
Chứng minh rằng năm điểm $A, O, B, H, M$ cùng thuộc một đường tròn.
b)
Chứng minh rằng $OK.OH = OI.OM$
c)
Tìm vị trí của $M$ trên đường thẳng $d$ để diện tích tam giác $OIK$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 6

1,0 điểm

Trên một cái sân có bảng kẻ $3 \times 3$ ô vuông, trong mỗi ô vuông này có một học sinh đứng trong đó. Sau một hồi còi, tất cả các học sinh phải di chuyển sang một ô vuông bên cạnh. Chứng tỏ rằng sau một hồi còi đó có một ô vuông mà trong đó có ít nhất hai học sinh.

HẾT