Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 9 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Bình Xuyên, Vĩnh Phúc

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng $(d_1), (d_2)$ có phương trình $(d_1): y = x + 3$; $(d_2): y = -2x + m^2 + m - 18$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hai đường thẳng $(d_1), (d_2)$ cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành $Ox$.

Cho ba số thực $a, b, c \neq 0$ thỏa mãn $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$. Tính giá trị biểu thức $P = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{c+a}$.

Cho đa thức $p(x) = 2024x^{2025} - 2025x^{2024} + 1$. Biết $p(x) = (x-1)^2 \cdot q(x)$ với $q(x)$ là đa thức. Tính giá trị $q(1)$.

Giải phương trình: $x^3 - 9x^2 + 6x + 2\sqrt{(3x - 2)^3} = 0$.

Giải hệ phương trình

Cho hình thang $ABCD$ vuông ở đỉnh $A$ và đỉnh $B$ thỏa mãn $AD = 2AB = 2BC$. Gọi $H$ chân đường vuông góc kẻ từ $A$ đến $BD$.

Cho hình vuông $ABCD$. Trên cạnh $AB$, $AD$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ thỏa mãn $AM = DN$. Kẻ $CH$ vuông góc $MN$ ($H$ thuộc $MN$), đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AB$ cắt $CH$ tại $P$. Chứng minh ba điểm $D$, $B$, $P$ thẳng hàng.

Khi kí hợp đồng làm việc thời hạn 5 năm với người lao động được tuyển dụng mới, một công ty đưa ra ba phương án trả lương như sau:

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu đồng, kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương tăng thêm 22 triệu so với năm trước.

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 30 triệu đồng, kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tăng 1,5 triệu đồng so với quý trước (mỗi quý được tính bằng 3 tháng).

Phương án 3: Tháng thứ nhất, tiền lương là 6 triệu đồng, kể từ tháng thứ 2 trở đi, mỗi tháng tăng 300 nghìn đồng so với tháng trước.

Nếu là người lao động được tuyển dụng, em sẽ chọn phương án nào để khi kết thúc hợp đồng, tổng số tiền lương thu được là nhiều nhất?

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $L = a^3 + b^3 + c^3$.