Đề thi khảo sát học sinh giỏi Toán 7 vòng 2 năm 2024–2025 — Trường THCS Đồng Thịnh, Vĩnh Phúc

Câu 1

5,0 điểm

a)
Tính giá trị của biểu thức: $A=\left(\dfrac{0,4-\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{11}}{1,4-\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{11}}-\dfrac{\dfrac{1}{3}-0,25+\dfrac{1}{5}}{1\dfrac{1}{6}-0,875+0,7}\right):\dfrac{2024}{2025}$
b)
Cho $\dfrac{x+16}{9}=\dfrac{y-25}{16}=\dfrac{z+9}{25}$ và $2x^{3}-1=15$ . Tính giá trị của biểu thức $B=x+y+z$ .
c)
Cho $a+b+c=2070$ và $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{1}{90}$

Tính giá trị của biểu thức $C=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$ .

Câu 2

4,0 điểm

a)
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết $p+2$ cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng $p+1$ chia hết cho 6.
b)
Cho $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , với $a, b, c \in \mathbb{Z}$ . Biết $f(-1); f(0); f(1)$ đều chia hết cho 3. Chứng minh rằng $a, b, c$ đều chia hết cho 3.
c)
Tìm các số nguyên $x, y$ biết $2xy-x-y=2$ .

Câu 3

3,0 điểm

a)
Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho 3 lớp tỉ lệ với $5:6:7$ nhưng sau đó chia theo tỉ lệ $4:5:6$ nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
b)
Biết $\dfrac{bz-cy}{a}=\dfrac{cx-az}{b}=\dfrac{ay-bx}{c}$ $(a, b, c \neq 0)$ . Chứng minh rằng $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$ .

Câu 4

6,0 điểm

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, $AB < AC < BC$ . Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Từ O kẻ OF vuông góc với BC, OH vuông góc với AC (F thuộc BC, H thuộc AC). Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho $FI=AH$ . Gọi K là giao điểm của FH và AI.

a)
Chứng minh tam giác FCH cân;
b)
Chứng minh $AK=KI$ ;
c)
Chứng minh 3 điểm B, O, K thẳng hàng.

Câu 5

2,0 điểm

Tìm tất cả các số nguyên dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ và b (n là số nguyên dương nào đó) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $b>a_{1}>a_{2}>...>a_{n}>1$ và $\left(1-\dfrac{1}{a_{1}}\right)\left(1-\dfrac{1}{a_{2}}\right)...\left(1-\dfrac{1}{a_{n}}\right)=2\left(1-\dfrac{1}{b}\right)$ .