Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 7 vòng 6 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Đông Hưng, Thái Bình

Câu 1

3,0 điểm

1)
Thực hiện phép tính: $A = \left[\left(\dfrac{2}{193} - \dfrac{3}{386}\right) \cdot \dfrac{193}{17} + \dfrac{33}{34}\right] : \left[\left(\dfrac{7}{1931} + \dfrac{11}{3.862}\right) \cdot \dfrac{1931}{25} + \dfrac{9}{2}\right]$
2)
Tìm số tự nhiên x biết: $\dfrac{3}{2} \cdot 4^{x} + \dfrac{5}{3} \cdot 4^{x+2} = \dfrac{3}{2} \cdot 4^{8} + \dfrac{5}{3} \cdot 4^{10}$

Câu 2

5,0 điểm

1)
Cho hai đa thức: $P(x) = x^{2} - 9x + 6 + 3x - 2x^{2}$ ;

$Q(x) = -x^{2} - 5x + 3x^{2} + 7x - 2 + 1$ .
1. a)
  Tính $H(x) = P(x) + Q(x)$ .
2. b)
  Chứng minh rằng đa thức $H(x)$ không có nghiệm trên tập số thực.
2)
Một tam giác có độ dài ba đường cao lần lượt là: $9\text{cm}$ , $25\text{cm}$ , $x \text{ cm}$ . Tìm $x$ biết $x$ là số chính phương và có đơn vị đo là centimets.

Câu 3

4,0 điểm

1)
Tìm $x, y, z$ biết: $(7x - 5y)^{10} + |x^{2} + y^{2} - 4.736| + \sqrt{x + y + z} = 0$ (với $x + y + z \ge 0$ ).
2)
Cho $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn: $x^{2} = yz$ ; $y^{2} = xz$ ; $z^{2} = xy$ . Chứng minh rằng $x = y = z$ .

Câu 4

6,5 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB < AC)$ . Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ . $AM$ là tia phân giác của góc $BAH$ , $AN$ là tia phân giác của góc $CAH$ $(M, N$ thuộc $BC)$ . Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AH$ .

a)
Chứng minh: $MD$ vuông góc với $AB$ .
b)
Chứng minh: $BA = BN$ .
c)
Chứng minh: $MN = AB + AC - BC$ .
d)
Kẻ $BK$ vuông góc với $AN$ tại $K$ , $CI$ vuông góc với $AM$ tại $I$ , $BK$ cắt $CI$ tại $O$ . Chứng minh tam giác $OMN$ vuông cân.

Câu 5

1,5 điểm

Tìm các số nguyên tố $p, q$ và số nguyên $x$ thỏa mãn: $x^{5} + px + 3q = 0$ .