Đề giao lưu học sinh giỏi Toán 7 năm 2025 — Phòng GD&ĐT Thiệu Hóa, Thanh Hóa

Câu 1

2,0 điểm

Tính giá trị của các biểu thức:

a)
$\left[\left(\dfrac{2}{191} - \dfrac{3}{382}\right) \cdot \dfrac{191}{17} + \dfrac{33}{34}\right] : \left[\left(\dfrac{7}{1012} + \dfrac{11}{2024}\right) \cdot \dfrac{1012}{25} + \dfrac{9}{2}\right]$
b)
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{7} + \dfrac{1}{7.2} + \dfrac{5}{2.13} + \dfrac{3}{13.4} + \dfrac{5}{4.21}$

Câu 2

2,0 điểm

Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn : $\dfrac{a+b-c}{c} = \dfrac{b+c-a}{a} = \dfrac{c+a-b}{b}$ và $a+b+c \neq 0$

Hãy tính giá trị của biểu thức: $B = \left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{b}\right).$

Câu 3

2,0 điểm

a)
Tìm $x$ biết: $\dfrac{x+121}{21} + \dfrac{x+144}{22} + \dfrac{x+169}{23} = 6$
b)
Biết $f(x)$ chia cho $x-3$ thì dư $7$ ; chia cho $x-2$ thì dư $5$ ; chia cho $(x-3).(x-2)$ được thương là $3x$ và còn dư. Tìm $f(x)$ .

Câu 4

2,0 điểm

Nam tiến hành gieo một con xúc xắc 6 mặt 100 lần rồi ghi lại kết quả trong bảng sau:

\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Số chấm xuất hiện} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Số lần} & 15 & 17 & 18 & & & \\ \hline \end{array}

Trong đó Nam đã quên ghi số lần xuất hiện của 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm. Biết rằng số lần xuất hiện 4 chấm bằng $\dfrac{2}{3}$ số lần xuất hiện của 5 chấm; số lần xuất hiện 5 chấm bằng $60\%$ số lần xuất hiện 6 chấm. Hãy tính xác suất thực nghiệm của sự kiện số chấm xuất hiện là số lẻ?

Câu 5

1,0 điểm

Một bể bơi được xây dựng thành hai khu vực với độ sâu khác nhau cho người lớn và trẻ em. Các kích thước của lòng bể được cho như hình vẽ: Người ta dùng một máy bơm để bơm đầy nước vào bể. Biết cứ mỗi phút máy bơm được 500 lít nước. Hỏi sau bao lâu bể bơi được bơm đầy?

hình vẽ bể bơi với các kích thước 25 m, 10 m, 1,2 m, 10 m, 8 m, 2,5 m

Câu 6

1,5 điểm

Tìm các cặp số nguyên $(x; y)$ thoả mãn: $x^2 + xy - 3y - 5x + 3 = 0$

Câu 7

2,0 điểm

Cho các số tự nhiên $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c = 1911^{56}$ . Gọi $x, y, z$ lần lượt là tổng các chữ số của $a, b, c$ . Chứng minh $x^3 + y^3 + z^3 \vdots 3$ .

Câu 8

1,5 điểm

Bác Hoàng gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất $6\%$ mỗi năm (tức là nếu đến hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn kì kế tiếp). Tính số tiền bác Hoàng nhận được sau 36 tháng (cả gốc lẫn lãi).

Câu 9

4,0 điểm

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, $AB < AC < BC$ , các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.

a)
Chứng minh $\Delta FCH$ cân.
b)
Chứng minh AK = KI và ba điểm B, O, K thẳng hàng.

Câu 10

2,0 điểm

a)
Cho $a, b, c$ là các số không âm thoả mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 9$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = a + b + c$ .
b)
Cho 6 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta nối bởi một đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu, với ba đỉnh là điểm lấy trong 6 điểm nói trên.