Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2024 — Sở GD&ĐT Long An

Câu 1

5,0 điểm

a)
Giải phương trình sau trên tập số thực: $2(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=10x^{2}+3x-6$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x\sqrt{x} - 12\sqrt{y} + 3\sqrt{xy} = y\sqrt{y} - 25 \\ \sqrt{x} + 2y = x + \sqrt{xy} + 6 \end{cases} \quad (x, y \in \mathbb{R}).$

Câu 2

5,0 điểm

a)
Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh $BC=a, CA=b, AB=c, \widehat{A}=60^{0}$ và $\dfrac{b-c}{a+c}=2(\cos B-1)$ . Tính số đo góc $B$ .
b)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho hình thang vuông $ABCD$ vuông tại $A$ và $D$ , có $CD=2AD=2AB$ . Gọi $M(2;4)$ là điểm thuộc cạnh $AB$ sao cho $AB=3AM$ . Điểm $N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho tam giác $DMN$ cân tại $M$ . Phương trình đường thẳng $MN$ là $2x+y-8=0$ . Tìm tọa độ đỉnh $B$ của hình thang $ABCD$ biết $D$ thuộc đường thẳng $d: x+y=0$ và điểm $A$ thuộc đường thẳng $d': 3x+y-8=0$ .

Câu 3

4,0 điểm

Cho dãy số $(u_{n})$ :

\begin{cases} u_{1}=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{u_{n}+2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}

a)
Dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng hay dãy số giảm? Vì sao?
b)
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_{n})$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho tập hợp $X=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$ . Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên dương gồm có sáu chữ số thỏa mãn điều kiện sau: “sáu chữ số của mỗi số nguyên dương trong $S$ lập thành một tập hợp chứa đúng ba phần tử của tập $X$ ”. Tìm số phần tử của tập hợp $S$ .

Câu 5

3,0 điểm

Có hai tàu A và B cùng phía với con đường bờ biển. Biết tàu A, tàu B lần lượt cách con đường bờ biển là 3 hải lí và 6 hải lí; khoảng cách giữa hai tàu A và B là 5 hải lí (như hình vẽ bên dưới). Người ta muốn xây dựng một trạm nhiên liệu dọc theo con đường bờ biển. Hỏi phải đặt trạm nhiên liệu cách tàu A bao nhiêu hải lí để tổng khoảng cách từ trạm nhiên liệu đến hai tàu A và B là ngắn nhất?

Sơ đồ vị trí tàu A, tàu B, đường bờ biển và trạm nhiên liệu