Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Hà Nam

Câu I

5,0 điểm

1)
Cho hàm số $y=\dfrac{x-3}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ . Tìm trên $(C)$ các điểm $M$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ của $(C)$ tạo với hai đường tiệm cận của $(C)$ một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
2)
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x-3)^{2024}(5^{2x}-5^{x}+1)(x^2-2x)$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f(x^2-8x+m)$ có đúng ba điểm cực trị $x_1, x_2, x_3$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2+x_3^2=50$ .

Câu II

4,0 điểm

1)
Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $\log_2(x+2y)+x^2+2y^2+3xy-x-y=0$ và $x+y>0$ ; $x\in[-2024;2024]$ ?
2)
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} \dfrac{2y+\sqrt{1+4y^2}}{x+x\sqrt{1+x^2}} = 2\log_3 \dfrac{1}{9} \cdot \log_9 (2y) \\ 2024^{2x(1-y)}+1=2x\left(1+\sqrt{2y^2-2y+1}\right) \end{cases}$

Câu III

2,0 điểm

Tính tích phân $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1+x\cos x(4+2\sin 2x+x\cos 2x)}{\cos x\sqrt{2+\sin 2x}} \mathrm{d}x$ .

Câu IV

5,0 điểm

1)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp (ABCD)$ , đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ , $AD=15$ , $BC=AB=5$ . Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^0$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$ và $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{AI}$ . Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên các cạnh $SB, SC$ . Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $SI$ và $AM$ .
1. a)
  Tính thể tích khối tứ diện $CDMI$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $SC$ .
2. b)
  Tính thể tích khối nón có đáy là hình tròn ngoại tiếp $\Delta EFH$ và đỉnh thuộc mặt phẳng $(ABCD)$ .
2)
Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ , $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , $AB=2AC$ . Gọi $E$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{EC'}=-2\overrightarrow{EC}$ . Khoảng cách từ điểm $C'$ đến mặt phẳng $(A'BE)$ bằng $12$ . Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(A'BE)$ và mặt phẳng $(ABC)$ . Tìm $\cos \alpha$ để thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu V

2,0 điểm

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $B(-9;1;-4)$ , $C(-9;7;4)$ . Trong các $\Delta ABC$ thỏa mãn điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ , các đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ và $C$ vuông góc với nhau sao cho góc $A$ lớn nhất. Viết phương trình mặt cầu đường kính $OA$ với $O$ là gốc tọa độ.

Câu VI

2,0 điểm

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2+1 \le 2x+3y$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{x^3+x^2+36}{2(x+1)}+\dfrac{y^3+y^2+36}{4(y+1)}+\dfrac{2z^3+z^2+9}{2z+1}$ .