Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 (không chuyên) đợt 2 năm 2024 — Sở GD&ĐT Quảng Nam

Câu 1

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $\log_2^2(2x)-7\log_2 x+3 \ge 0$ .

A
$\displaystyle S=(0;2]\cup[16;+\infty)$
B
$\displaystyle S=[2;16]$
C
$\displaystyle S=(-\infty;2]\cup[16;+\infty)$
D
$\displaystyle S=(-\infty;1]\cup[4;+\infty)$

Câu 2

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{8-x^2}}$ thoả mãn $F(2)=0$ . Khi đó phương trình $F(x)=x$ có nghiệm là

A
$\displaystyle x=-1$
B
$\displaystyle x=1$
C
$\displaystyle x=1-\sqrt{3}$
D
$\displaystyle x=0$

Câu 3

Hàm số $y=-x^4+8x^2+2024$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (-2;2)$
B
$\displaystyle (-\infty;2)$
C
$\displaystyle (-2;+\infty)$
D
$\displaystyle (-\infty;-2)$

Câu 4

Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^3-3x^2-9x+18$ bằng

A
$\displaystyle 32$
B
$\displaystyle 14$
C
$\displaystyle -207$
D
$\displaystyle 2$

Câu 5

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x-2y+z+8=0$ . Gọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(P)$ . Tính giá trị của biểu thức $T=a+b-2c$ .

A
$\displaystyle T=7$
B
$\displaystyle T=-1$
C
$\displaystyle T=-5$
D
$\displaystyle T=11$

Câu 6

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ và điểm $A(-2;1;3)$ . Phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và chứa đường thẳng $d$ là

A
$\displaystyle x+2y+3z-9=0$
B
$\displaystyle 2x-y+z+2=0$
C
$\displaystyle x+y-z-6=0$
D
$\displaystyle x+y-z+4=0$

Câu 7

Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\dfrac{2x^2+x+1}{x+1}$ trên đoạn $[0;1]$ . Tính $M-m$ .

A
$\displaystyle M-m=1$
B
$\displaystyle M-m=\sqrt{2}-1$
C
$\displaystyle M-m=\sqrt{2}$
D
$\displaystyle M-m=2-\sqrt{2}$

Câu 8

Đồ thị hàm số $f(x)=\dfrac{x-2}{x^2-9}-\dfrac{1}{x+2}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 4$
D
$\displaystyle 5$

Câu 9

Cho hình nón có chu vi đáy là $8\pi$ và thể tích khối nón tương ứng là $16\pi$ . Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng

A
$\displaystyle 2\sqrt{3}$
B
$\displaystyle 5$
C
$\displaystyle 3\sqrt{2}$
D
$\displaystyle \sqrt{7}$

Câu 10

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là $2;3;4$ nội tiếp một mặt cầu. Tính diện tích $S$ của mặt cầu đó.

A
$\displaystyle S=232\pi$
B
$\displaystyle S=116\pi$
C
$\displaystyle S=58\pi$
D
$\displaystyle S=29\pi$

Câu 11

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=\ln 2$ , $f(1)=\ln 5$ . Tính $I=\int_0^1 f'(x)e^{f(x)}\mathrm{d}x$ .

A
$\displaystyle I=3$
B
$\displaystyle I=\dfrac{5}{2}$
C
$\displaystyle I=0$
D
$\displaystyle I=10$

Câu 12

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\frac{1}{2}\log_{\sqrt{3}}(x+3)+\frac{1}{4}\log_{9}(x-1)^8 = \log_{3}(4x)$ bằng

A
$\displaystyle -3$
B
$\displaystyle 2\sqrt{3}$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 2$

Câu 13

Biết $F(x) = \int (2x-1)e^{1-x}dx = e^{1-x}(Ax+B)+C$ . Giá trị của biểu thức $A+B$ bằng

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 3$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle -3$

Câu 14

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ , $AB = a$ , $BC = 2a$ , $A'B$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và góc giữa $A'C$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^{\circ}$ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

A
$\displaystyle a^3$
B
$\displaystyle 3a^3$
C
$\displaystyle \frac{a^3}{3}$
D
$\displaystyle \frac{a^3}{6}$

Câu 15

Cho hình trụ có độ dài đường sinh bằng $a$ . Cắt mặt xung quanh của hình trụ đó theo đường sinh và trải dài ta được một hình chữ nhật có hai kích thước là $a$ và $2a$ (tham khảo hình bên dưới). Bán kính đáy của hình trụ đó bằng

Hình trụ và hình chữ nhật khi trải mặt xung quanh

A
$\displaystyle \frac{a}{2\pi}$
B
$\displaystyle a$
C
$\displaystyle \frac{a}{\pi}$
D
$\displaystyle 2\pi a$

Câu 16

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;3]$ . Nếu $\int_{0}^{3}f(x)dx = 2$ thì $\int_{0}^{3}[x - 2f(x)]dx$ bằng

A
$\displaystyle \frac{1}{2}$
B
$\displaystyle \frac{5}{2}$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 7$

Câu 17

Cho hàm số $y = \frac{2x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ . Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d: y = -4x+1$ và tiếp điểm có hoành độ dương.

A
$\displaystyle y = -4x-2$
B
$\displaystyle y = -4x+2$
C
$\displaystyle y = -4x+21$
D
$\displaystyle y = -4x+14$

Câu 18

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Gọi $I$ là trung điểm của $A'B$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Hỏi đường thẳng $C'I$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

Hình vẽ hình hộp ABCD.A'B'C'D' với điểm I là trung điểm của A'B

A
$\displaystyle (D'AC)$
B
$\displaystyle (DAC)$
C
$\displaystyle (DAA')$
D
$\displaystyle (A'AC)$

Câu 19

Bất phương trình $\frac{1}{3^x + 5} \leq \frac{1}{3^{x+1} - 1}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A
3
B
4
C
1
D
2

Câu 20

Biết phương trình $\left(\sqrt{10}+1\right)^{x^2} + 4\left(\sqrt{10}-1\right)^{x^2} = 5.3^{x^2}$ có một nghiệm dương $x_0$ có dạng $x_0 = \sqrt{a \log_{\frac{\sqrt{10}+1}{3}} b}$ với $a, b \in \mathbb{N}^*, a > 1$ . Tính $T = a - b$ .

A
$\displaystyle T = 2$
B
$\displaystyle T = 0$
C
$\displaystyle T = -3$
D
$\displaystyle T = 5$

Câu 21

Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f(f(x)+4) = 0$ là

A
1
B
5
C
4
D
3

Câu 22

Cho tứ diện $ABCD$ có $BD = 5$ và hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(BCD)$ thuộc miền trong của tam giác $BCD$ (tham khảo hình bên dưới). Biết diện tích của tam giác $ABD$ và tam giác $CBD$ lần lượt bằng $12$ và $15$ , góc giữa hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(CBD)$ bằng $60^\circ$ . Thể tích khối tứ diện đã cho bằng

Hình tứ diện $ABCD$ với $H$ là hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $(BCD)$

A
$\displaystyle 15$
B
$\displaystyle 12$
C
$\displaystyle 12\sqrt{3}$
D
$\displaystyle 6$

Câu 23

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-2023;2024]$ để phương trình $\log_6(2024x+m) = \log_4(506x)$ có hai nghiệm phân biệt?

A
$\displaystyle 43$
B
$\displaystyle 28$
C
$\displaystyle 2024$
D
$\displaystyle 1012$

Câu 24

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $(0,+\infty)$ và $f(x) > 0, \forall x \in (0;+\infty)$ . Biết $f(1)+f(2)=10$ , $f(a+b)=f(a)+f(b)+2\sqrt{f(a).f(b)}$ , $\forall a,b \in (0;+\infty)$ và $\int_{2}^{4} x.f'(x)dx = \frac{224}{3}$ . Tính $I = \int_{2}^{4} f(x)dx$ .

A
$\displaystyle I = \frac{208}{3}$
B
$\displaystyle I = \frac{56}{3}$
C
$\displaystyle I = 112$
D
$\displaystyle I = \frac{112}{3}$

Câu 25

Cho $m$ là số nguyên không vượt quá 24. Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $y=-\dfrac{1}{3}e^{3x}+(m+3)e^{2x}+(m+1)e^{x}-4$ luôn đồng biến trên khoảng $(0;\ln 2)$ bằng

A
$\displaystyle 26$
B
$\displaystyle 299$
C
$\displaystyle 300$
D
$\displaystyle 24$

Câu 26

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính diện tích $S$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ .

A
$\displaystyle S=\dfrac{\pi a^{2}\sqrt{3}}{6}$
B
$\displaystyle S=\dfrac{\pi a^{2}\sqrt{3}}{3}$
C
$\displaystyle S=\dfrac{7\pi a^{2}}{3}$
D
$\displaystyle S=\dfrac{\pi a^{2}\sqrt{7}}{6}$

Câu 27

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y=1, y=x$ và Parabol $y=\dfrac{x^{2}}{4}$ trong miền $x\ge 0, y\le 1$ bằng $\dfrac{a}{b}$ (phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản). Tính $T=b-a$ .

A
$\displaystyle T=3$
B
$\displaystyle T=2$
C
$\displaystyle T=1$
D
$\displaystyle T=4$

Câu 28

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc đáy và $SA=a\sqrt{3}$ . Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(SAD)$ . Tính $\tan \alpha$ .

A
$\displaystyle \tan \alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B
$\displaystyle \tan \alpha=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C
$\displaystyle \tan \alpha=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
D
$\displaystyle \tan \alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

Câu 29

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $(3m+1).12^{x}+(2-m).6^{x}+3^{x}=0$ có nghiệm không âm?

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 3$
D
vô số

Câu 30

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ

\begin{array}{|c|ccccccccccc|} \hline x & -\infty & & -2 & & -1 & & 3 & & 5 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & +\infty & & & & 1 & & & & 3 & & -\infty \\ & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \\ & & & -2 & & & & 0 & & & & \\ \hline \end{array}

Số điểm cực đại của hàm số $g(x)=f(|x-4|)+2024$ bằng

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 3$

Câu 31

Trong không gian $Oxyz$ , gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A(1;0;0), B(0;2;0)$ , tạo với mặt phẳng $(Oyz)$ một góc $30^{\circ}$ và khoảng cách từ điểm $M(1;1;1)$ đến $(P)$ lớn hơn $\dfrac{1}{2}$ . Hỏi mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A
$\displaystyle x+2y+z+2024=0$
B
$\displaystyle x+y-3z+2024=0$
C
$\displaystyle x-2y+2024=0$
D
$\displaystyle x-y+z+2024=0$

Câu 32

Cho hình trụ $(T)$ và tứ diện $ABCD$ đều cạnh $a$ thỏa điều kiện $AB$ là một đường sinh của $(T)$ và hai đỉnh $C,D$ nằm trên mặt xung quanh của $(T)$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính bán kính đáy $R$ của hình trụ $(T)$ theo $a$ .

A
$\displaystyle R=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
B
$\displaystyle R=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$
C
$\displaystyle R=\dfrac{3a\sqrt{2}}{8}$
D
$\displaystyle R=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}$

Câu 33

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2;4)$ , $B(0;0;1)$ và mặt cầu $(S): (x+1)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 4$ . Mặt phẳng $(P): ax + by + cz - 4 = 0$ đi qua hai điểm $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính $T = a - b + c$ .

A
$\displaystyle T = -11$
B
$\displaystyle T = 19$
C
$\displaystyle T = -7$
D
$\displaystyle T = 1$

Câu 34

Sắp xếp ngẫu nhiên 7 số tự nhiên từ 12 đến 18 thành một hàng ngang. Tính xác suất $P$ để hàng ngang nhận được có tổng của 4 số liên tiếp bất kỳ đều chia hết cho 3.

A
$\displaystyle P = \dfrac{1}{35}$
B
$\displaystyle P = \dfrac{3}{35}$
C
$\displaystyle P = \dfrac{4}{35}$
D
$\displaystyle P = \dfrac{6}{35}$

Câu 35

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $\left|\dfrac{3e^{2x} + 2e^x + 24}{e^{2x} - (m+1)e^x + 4}\right| \geq 2$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ ?

A
$\displaystyle 7$
B
$\displaystyle 8$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 9$

Câu 36

Cho hàm số $y = f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị hàm số $y = f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Biết bất phương trình $2^{\sqrt{f(x)+m}} + f(x) \geq 8 - m$ luôn nghiệm đúng với mọi $x \in (-1;4)$ . Khi đó mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đồ thị hàm số y = f'(x) cắt trục Ox tại x = -1, x = 1, x = 4

A
$\displaystyle m \geq 4 - f(-1)$
B
$\displaystyle m \geq 4 - f(4)$
C
$\displaystyle m < 4 - f(1)$
D
$\displaystyle m \geq 4 - f(1)$

Câu 37

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(8;5;-11), B(5;3;-4), C(1;2;-6)$ và mặt cầu $(S): (x-2)^2 + (y-4)^2 + (z+1)^2 = 9$ . Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc $(S)$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $T = a + b + c$ .

A
$\displaystyle T = 4$
B
$\displaystyle T = 12$
C
$\displaystyle T = 8$
D
$\displaystyle T = 2$

Câu 38

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A'B'C')$ là trung điểm cạnh $B'C'$ , góc giữa cạnh bên và đáy bằng $60^{\circ}$ . Biết khoảng cách giữa $BB'$ và $CC'$ bằng $2a$ , khoảng cách từ $A$ đến các đường thẳng $BB'$ và $CC'$ lần lượt bằng $a$ và $a\sqrt{3}$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

A
$\displaystyle V = 3a^3$
B
$\displaystyle V = \dfrac{2a^3\sqrt{3}}{3}$
C
$\displaystyle V = 3a^3\sqrt{2}$
D
$\displaystyle V = 2a^3$

Câu 39

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn $f(1) = 1$ , $\int_{0}^{1}\left[f'(x)\right]^2 dx = 9$ và $\int_{0}^{1}x^3 f(x) dx = \dfrac{1}{2}$ . Đặt $g(x) = 5f(x) + 9x^5 + x$ . Gọi $(H)$ là phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = g(x)$ , trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0, x = 1$ . Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi cho $(H)$ quay quanh trục $Ox$ .

A
$\displaystyle V = \dfrac{631}{3}\pi$
B
$\displaystyle V = \dfrac{293}{2}\pi$
C
$\displaystyle V = \dfrac{271}{3}\pi$
D
$\displaystyle V = \dfrac{323}{3}\pi$

Câu 40

Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $y \leq 2x^2$ và $\log_3(x^2 + y^2) + \log_4(x^2 + y^2 + 14y) \leq \log_3(x^2 + y^2 + 16y) + \log_4 y$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x^2 + y^2 - 3x + 4y$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A
$\displaystyle (4;5)$
B
$\displaystyle (9;10)$
C
$\displaystyle (6;7)$
D
$\displaystyle (12;13)$